Изопериметрическая задача в курсе школьной программы 2

Средняя школа

Площадь прямоугольника изучается и повторяется в 5-7 классах, а также является отдельной темой геометрии 8 класса. Можно при изучении действий с десятичными дробями подбирать дробные значения сторон прямоугольника и вычислять площадь, получая опять же, что наибольшей площадью при данном периметре обладает квадрат.

В сильных классах следует попробовать сопоставить площадь квадрата и круга, если периметр квадрата равен длине окружности.

В 8 классе при исследовании квадратного трехчлена вновь появляется изопериметрическая задача.

Например: периметр прямоугольника 600 м. Какими должны быть его стороны, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей?

Старшие классы

К Дидоне возвращаемся в 11 классе, решая задачи на наибольшее и наименьшее значение функции.

Будем для простоты считать, что берег моря был прямолинейным, а участок земли имел форму прямоугольника. Тогда надо найти прямоугольник наибольшей площади, ограниченный с одной стороны берегом моря, а с трех других веревкой заданной длины.

Выберем в качестве аргумента длину отрезка ВС (см. рисунок). Тогда длина отрезка АВ равна l-2xи площадь Sпрямоугольника ABCDравна x(l-2x), т.е.

Производная S`(x)=l-4x между 0 и l/2 обращается в нуль в единственной точке x=l/4. При этом значении аргумента функция и принимает наибольшее значение. Значит, стороны прямоугольника будут равны l/4 и l/2.

Если снять условие, что участок должен быть прямоугольным, то можно огородить больший участок земли, а именно полукруг. Эта задача рассматривается при вычислении площадей с помощью определенного интеграла.