Презентация "Уравнение касательной и нормали к графику функции"
Конспект урока
Учитель высшей категории Ласкевич С.В.
СШ № 191
Тип урока: объяснение нового материала
Цели урока:
- продолжать развивать способность к творчеству путём привлечения учащихся
к основам исследовательской деятельности. формирование логического
мышления, математи¬ческой речи.
-продолжить воспитание внимания, активного мышления.
Планируемый результат урока:
Уметь выводить уравнение касательной и нормали.
Научиться распознавать опорные типы задач, для решения
более сложных.
Методы обучения:
По логике мышления – индуктивный
По характеру познавательной деятельности – частично поисковый.
Оборудование:
Мультимедийная установка.
Ход урока.
1 Этап. Организационный момент.
Задача: Проверка готовности учащихся к уроку, активизировать внимание, показать недостаточность знаний для составления уравнения прямой проходящую через 1 точку. Объявить тему и цель урока.
Слайд № 1. Рассмотрим график функции и точку
M(3; – 2). принадлежащую графику ф-ии.
Вопрос: Как написать уравнение прямой имеющую с графиком ф-ии одну
общую точку т.M(3; – 2)?
Как видим не хватает данных для составления уравнения.
Сегодня мы научимся решать такие задачи и задачи более сложные.
Запишите число и тему урока. Слайд № 2.
Уравнение касательной и нормали
к графику функции.
2 Этап. Объяснение нового материала. (1 часть)
Задача: Опираясь на ранее полученные знания учащихся совместно вывести уравнение касательной.
Слайд № 3. (цели урока)
Слайд № 4
Рассмотрим график функции y=f(x) дифференцируемой в точке А Выделим на ней точку В и про¬ведем секущую АВ, где В(х0 + ; f(х0 + ))
Вопрос: Чему будет равен угловой коэффициент прямой АВ?
(отвечают учащиеся)
Если точку В двигать по графику, приближая её к т.А то прямая АВ начнет поворачиваться вокруг точки А. Чаще всего секущая АВ стремиться занять некоторое предельное положение.
Это предельное положение представляет собой прямую, которая практически сливается с графиком функции в некоторой окрестности т. А Эта прямая и есть касательная к гра¬фику ф-ии y=f(x) B х0.
СЛАЙД № 5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Касательной к графику функции y=f(x), дифференцируемой в точке
А называется прямая, представляющая предельное
положение секущей АВ (если оно существует) ког¬да В -> А.
СЛАЙД № 6
Угловой коэффициент такой прямой получается из углового
коэффициента секущей в процессе предельного перехода от В k А.
k=lim kсек. но условие В -> А можно заменить условием , а
вместо kсек. написать
СЛАЙД № 7 Т.о значение производной функции y=f(x) в точке касания х0 равно угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии y=f(x) в т х0.
--- В этом состоит геометрический смысл производной.
a<90°=>tga>0 k>0, если а >90° =>tga <0 и к <0
заметим, что углом наклона кривой к оси ох в заданной точке считается угол наклона касательной проведённой в этой точке.
СЛАЙД № 8: Если функция дифференцируема в т х0, то в этой точке к графику можно провести касатель- ную и обратно: если в х0 к графику y=f(x) можно провести невертикальную касательную то. ф-ия дифференцируема в этой точке Это позволяет по графику ф-ии находить точки в ко¬торых ф-ия имеет или не имеет производную.
СЛАЙД № 9 Рассмотрим функцию, которая дифференцируема на интервале, т.е. к графику такой ф-ии можно провести касательную в любой точке.
Пусть касательная проведена в т.А(хо,уо) тогда по ранее выведенному
её угловой коэффициент равен значению производной в этой точке
k = f'(x0), а уравнение прямой проходящей через эту точку (говорят учащиеся)
у-у0=к(х-х0) т.к k = f/(x0) и y0 = f(x0)
=>
3 Этап. Первичное закрепление.
Задача: закрепить новые знания теории, умение осознано применять полученные знания на практике, ликвидация типичных ошибок.
Т.О. для составления уравнения касательной в т х0 к графику необходимо найти: (говорят учащиеся)
1. значение функции в точке касания
2. общую производную функции
3. значение производной в точке касания
4. подставить найденные значения в общее уравнение касательной.
С помощью этого алгоритма мы теперь сможем решить исходную задачу которую поставили вначале урока.
СЛАЙД № 10. учащиеся самостоятельно решают исходную задачу
[Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2)[.
и затем сверяют правильность решения с выведенным на экране решением.
СЛАЙД № 11.
По существу, все задачи на отыскание уравнения касательной сводятся к необходимости отбора из множества (пучка или семейства) тех прямых, которые удовлетворяют определённому требованию – являются касательными. При этом множество прямых, из которых осуществляется отбор, может быть задан двумя способами:
А) точкой, лежащей на плоскости хоу (центральный пучок прямых)
Б) угловым коэффициентом (параллельный пучок прямых)
СЛАЙД № 12. Решение задачи типа Б)
Написать уравнения всех касательных к графику ф-ии
параллельных прямой у = 9х +1
Отметить, что условие параллельности может быть заменено условием, когда касательная наклонена под некоторым углом к оси ох.
СЛАЙД № 13. Уравнение нормали.
Продолжая поворот секущей АВ можно дойти до такого положения когда АВ будет перпендикулярна касательной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Нормалью к графику функции в т.А называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной.
Вопрос: Каково условие перпендикулярности двух прямых или как связаны угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых?
следовательно
Т.е. уравнение нормали к кривой у= f(x) в точке (х0 у0) имеет вид:
или
4 этап. Практическое применение.
Задача: выяснить прочность и уровень осознанности полученных знаний
СЛАЙД № 15. Самостоятельно решить задачи.
1. Составить уравнение нормали к кривой в точке (2; 8).
Ответ.
2. При каком значении параметра «к» касательная к графику функции
в точке (1;1) образует с осью ох угол равный
4 этап. Подведение итогов урока.
Задача: проверить правильность ответов и действий в процессе активного
подведения итогов урока.
Что называется касательной к графику функции?
Что называется нормалью к графику функции?
Назвать алгоритм составления уравнения касательной и нормали.
В чём состоит геометрический смысл производной?
Если значение производной в точке касания отрицательно, то о чём это говорит?
5 этап. Информирование и инструктаж о домашнем задании.
Задание на дом: Ананченко К.О. п.70 № 465
Уравнение касательной View more presentations from Ekaterina.Автор: Ласкевич Светлана Владимировна