Методическая разработка на тему "Комбинации шара с многогранниками и круглыми телами".

§1. КОМБИНАЦИИ ШАРА С МНОГОГРАННИКАМИ.

Т е о р е м а 1.1. Через любые четыре точки, не принадлежащие одной плоскости, можно провести одну и только одну сферу.

Доказательство.

Пусть А, В, С, D– данные точки. Точка О, одинаково удаленная от всех точек, должна принадлежать плоскости α, перпендикулярной отрезку АВ и проходящей через его середину. Аналогичные утверждения верны для плоскостей β и γ, проведенных соответственно через середины отрезков ВDи ВС перпендикулярно к этим отрезкам. Докажем, что α β. Действительно, если α׀׀β, то прямая ВD, перпендикулярная β, перпендикулярна и α. Тогда через точку В к плоскости α были бы проведены два различных перпендикуляра ВА и ВD, что невозможно. Аналогично можно доказать, что β γ.

Пусть α β = m, β γ = n. Прямые mи n, лежащие в плоскости β, не могут быть параллельны. Действительно, пусть m׀׀n. Так как m АВ и m ВD, то m (АDВ). Аналогично убеждаемся, что n (ВDС). Но тогда получаем, что (АDВ)׀׀(ВDС), а это противоречит условию теоремы. Итак, мы показали, что прямые mи nпересекаются. Значит, плоскости α, β, γ имеют общую точку, и притом только одну. Эта точка и является центром сферы, проходящей через А, В, С, D.

С л е д с т в и е. Через окружность и точку, не принадлежащую плоскости окружности, можно провести одну и только одну сферу.

Действительно, три произвольно взятые точки А, В, С окружности и данная точка Dобразуют четверку точек, не лежащих в плоскости. Сфера, проходящая через эти точки, пересекает плоскость (АВС) по данной окружности, так как через точки А, В, С нельзя провести две различные окружности.

О п р е д е л е н и е. Сфера называется описанной вокруг многогранника, если все его вершины принадлежат сфере.

Т е о р е м а 1.2. Для того, чтобы вокруг пирамиды можно было описать сферу необходимо и достаточно, чтобы вокруг основания пирамиды можно было описать окружность.

Доказательство.

Достаточность.Пусть вокруг основания пирамиды описана окружность ω. Через вершину Sи окружность ω проходит единственная сфера σ (следствие). Эта сфера описана около данной пирамиды.

Необходимость.Пусть существует сфера σ, описанная вокруг пирамиды. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности ω, описанной вокруг этого основания.

Т е о р е м а 1.3. Для того, чтобы вокруг призмы можно было описать сферу необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия: 1) призма была прямой; 2)вокруг ее основания можно было описать окружность.

Доказательство.

Достаточность. Пусть вокруг основания АВСDпрямой призмы можно описать окружность ω. Через эту окружность и точку А1 проходит единственная сфера σ. Плоскость боковой грани АВВ1А1 пересекает сферу по окружности ω1, которая проходит через три вершины А, В, А1 прямоугольника АВВ1А1. Вершина В1 принадлежит этой окружности, следовательно В1 σ. Аналогично доказываем, что С1 σ и D1 σ.

Необходимость. Пусть существует сфера, описанная вокруг данной призмы АВСDА1В1С1D1. Плоскость основания призмы пересекает сферу по окружности ω, описанной вокруг этого основания. Плоскость боковой грани АВВ1А1 пересекает сферу по окружности ω1, описанной вокруг параллелограммаАВВ1А1. Такой параллелограмм как известно является прямоугольником, следовательно АА1 АВ. Аналогично доказываем, что АА1 АD. Тогда АА1 (АВС) и АВСDА1В1С1D1 – прямая призма.

О п р е д е л е н и е. Сфера называется вписанной в многогранник, если все грани многогранника касаются сферы.

Решения задач на вписанные сферы основаны, по существу на следующих свойствах:

если плоскость (или прямая) касаются сферы, то расстояние от центра сферы до этой плоскости (или прямой) равно радиусу сферы;

если сфера касается двух пересекающихся плоскостей, то центр сферы лежит в биссекторной плоскости двугранного угла, образованного этими плоскостями;

если в многогранник вписана сфера, то

V= rS,

где r– радиус сферы, Vи S– объем и полная поверхность многогранника.

Докажем свойство 3) на примере сферы, вписанной в тетраэдр.

Пусть сфера σ с центром в точке О и радиусом rвписана в тетраэдр DАВС. Сфера касается всех граней тетраэдра и расстояние от точки О до граней равно радиусу сферы (свойство 1). Это расстояние равно высотам пирамид ОАВС, ОАВD, ОАDС, ОВСD. Имеем:

VDАВС= VОАВС + VОАВD+ VОАDС + VОВDС ;

VDАВС= r SОАВС+ r SОАВD + r SОАDС+ r SОВDС;

VDАВС= r (SОАВС+ SОАВD + SОАDС+ SОВDС);

VDАВС = rS,где S– полная поверхность тетраэдра DАВС.

Для произвольного многогранника свойство 3) доказывается аналогично.

Рассмотрим решение некоторых задач.

З а д а ч а 1.1. Для правильного тетраэдра со стороной а, найдите: а) радиус вписанного шара; б) радиус описанного шара; в) докажите, что центры описанного и вписанного шаров совпадают.

Р е ш е н и е.

а) Пусть SABC– данный тетраэдр, SН (АВС), Н – центр Δ АВС. Тогда АН – радиус окружности, описанной около Δ АВС, . По теореме Пифагора из ΔSАH . Имеем с другой стороны , где r– радиус вписанного шара, Sп.п.– полная поверхность пирамиды, SН – высота пирамиды. Тогда ; Sп.п=4SАВС; . (Мы не находили центр вписанного шара. Для нахождения радиуса шара воспользовались «методом объемов». Очевидно, что центр вписанного шара принадлежит высоте пирамиды – SH).

б) В плоскости (SAН) через точку М – середину SAпроведем n SA. SH n= О. Точка О – центр шара, описанного около тетраэдра SAВC. SO - радиус шара, описанного около тетраэдра.

Δ SМО подобен Δ SHAпо двум углам.

в) Заметим, что r+ R= . Значит, центры описанного и вписанного шаров совпадают и эта точка – центр тетраэдра - делит высоту тетраэдра в отношении 3 : 1, считая от вершины тетраэдра.

З а д а ч а 1.2. Две грани треугольной пирамиды – равные между собой прямоугольные треугольники с общим катетом, равным lУгол между этими гранями равен α. Две другие грани пирамиды образуют двугранный угол β. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.

Р е ш е н и е.

Пусть SABC– данная пирамида. По условию SA (АВС), SA=l. Проведем SК ВС, по теореме о трех перпендикулярах AК ВС. SKА – линейный угол двугранного угла при ребре ВС, SKА= β.

Из центра окружности, описанной около Δ АВС – точки О1, восстановим перпендикуляр mк плоскости (АВС). Заметим, что m|| SA. В плоскости (SAK) через точку М – середину SAпроведем n SA. m n= О. Точка О – центр шара, описанного около пирамиды SAВC.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью (SAK). Искомый радиус – АО можно найти из Δ АО1О по теореме Пифагора: О1О = , АО1 – радиус окружности, описанной около Δ АВС. Из Δ SAK: АК= lctgβ. Из Δ АВС:

АО1= .

R= AO= .

Ответ: радиус шара, описанного около пирамиды равен .

З а д а ч а 1.3. В пирамиде ABCDимеем АВ = 6, CD= 8. Остальные ребра равны . Найти радиус шара, описанного около пирамиды.

Р е ш е н и е.

В пирамиде ABCDимеем AD= ВD, следовательно, высота, опущенная из точки D, проецируется на серединный перпендикуляр к АВ, так как АВС – равнобедренный, то Dпроецируется на высоту треугольника АВС, проведенную из точки С. Пусть СМ АВ. Δ АВС = Δ АВD(по трем сторонам), DМ АВ, СМ СМ = .

Из центра окружности, описанной около Δ АВС – точки О1, восстановим перпендикуляр mк плоскости (АВС). Заметим, что m|| DH(DH– высота пирамиды). В плоскости (DMC) через точку К– середину DCпроведем n DC. Так как СМ=DМ, то прямая nсовпадет с МК. m n= О. Точка О – центр шара, описанного около пирамиды AВCD.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью (CMD). Искомый радиус – CО можно найти из Δ CО1О по теореме Пифагора.

СО1 – радиус окружности, описанной около Δ АВС.

СО1=

Δ МО1О подобен Δ МКС по двум углам. .

. . КС = 4.

Из Δ CО1О по теореме Пифагора:

Ответ: радиус шара, описанного около пирамиды равен 5.

З а д а ч а 1.4. Через центр О данной сферы проведено сечение. Точка К выбрана на сфере, а точки А, В, С, D– последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды КАВСDнаибольший. Точка М – середина отрезка ВС. Найдите косинус угла между прямыми KMи BD.

Р е ш е н и е.

Пусть R– радиус сферы. Так как четырехугольник ABCDвписан в окружность сечения радиуса R, то его диагонали АС и BD– хорды этой окружности и поэтому и . Отсюда для определения площади четырехугольника ABCDимеем неравенство

. При этом , только если , то есть из всех четырехугольников, вписанных в данное сечение сферы, наибольшую площадь имеет квадрат ABCD.

Пусть Н – высота пирамиды КABCD, равная расстоянию от точки К сферы до плоскости (АВС). Так как точка К лежит на сфере, то . Поэтому для объема пирамиды имеем , если АС и BD– перпендикулярные диаметры сечения, а вершина К проектируется в центр О сечения. Таким образом, пирамида КABCDпри указанных условиях имеет наибольший объем, если ее основание ABCD– квадрат, вписанный в окружность сечения радиуса R, а вершина К проектируется в центр квадрата, то есть . Отсюда следует, что пирамида КABCDправильная.

Пусть ML– средняя линия треугольника ОВС, параллельная ОВ. Тогда ML=0,5ОВ=0,5Rи так как ML|| BD, то угол KMLесть угол между прямыми KMи BD. Пусть .

Из равенства треугольников ОКВ, ОКС, ОВС следует, что треугольник КВС – правильный со стороной ВС=ОС . Значит, его медиана КМ= . Так как и , то и значит, . Из прямоугольного треугольника KMLимеем .

Ответ: косинус угла между прямыми KMи BDравен .

З а д а ч а 1.5. В шар радиусом 2 вписана правильная треугольная призма АВСА1В1С1. Прямая ВА1 образует с плоскостью ВСС1 угол . Найдите объем призмы.

Р е ш е н и е.

Пусть - середина В1С1. Так как призма правильная, то и , и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости . Значит, , как угол между прямой А1В и плоскостью (ВСС1).

Пусть М и М1 – центры оснований призмы, а О – середина ММ1. Тогда точка О – центр описанного шара. Из условия радиус шара .

Пусть АВ = а. Тогда . Но прямоугольный и . Следовательно, . Из . Отрезок . Отрезок . Поэтому из прямоугольного имеем . Следовательно, . Объем призмы находим по формуле . Но . Отсюда

Ответ: объем призмы равен 72.

З а д а ч а 1.6. Доказать, что во всякую пирамиду, у которой двугранные углы при сторонах оснований равны, можно вписать сферу.

Р е ш е н и е.

Пусть SА1А2…Аn– данная пирамида. SH (А1А2А3). Проведем SК1 А1А2, SК2 А2А3, …, SКn АnА1. По теореме о трех перпендикулярах HК1 А1А2, HК2 А2А3, …, HКn АnА1. Тогда SK1H, SK2H, …, SKnH– линейные углы при сторонах основания пирамиды. По условию SK1H= SK2H= …= SKnH. Прямоугольные треугольники SK1H, SK2H, …, SKnHравны так как они имеют общий катет SHи равные острые углы, противолежащие этому катету.

Впишем в SK1Hполукруг, центр О которого лежит на высоте SH и дуга касается сторон SK1H. Тогда К1О – биссектриса SK1H. При вращении полученного полукруга вокруг оси SH получим шар, вписанный в пирамиду. Точки касания сферы и боковых граней будут принадлежать высотам этих граней, проведенных из вершины S. Этот шар касается основания пирамиды в точке H, центр шара – точка пересечения высоты пирамиды и биссектрисы одного из линейных углов двугранного угла при основании пирамиды.

З а д а ч а 1.7. Доказать, что в прямую призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если: а) в основание призмы можно вписать окружность; б) высота призмы равна диаметру этой окружности.

Р е ш е н и е.

1. Достаточность. Через центр О1 окружности, вписанной в основание призмы, проведем высоту О1О2 призмы. Из точек О1 и О2 проводим перпендикуляры О1К и О2М соответственно к ребрам ВС и В1С1. Рассмотрим окружность с центром в точке О – середине отрезка О1О2 и радиусом ОО1. По условию ОО1 = О1К, поэтому окружность касается отрезка КМ в его середине. При вращении окружности вокруг О1О2 получим сферу, вписанную в данную призму.

2. Необходимость. а) Спроектировав вписанную сферу на плоскость основания призмы параллельно ее боковому ребру, получим круг, вписанный в основание призмы.

б) Соединим центр О вписанной сферы и точку О1 касания сферы с плоскостью (АВС). По свойству касательной плоскости ОО1 (АВС). Продолжим ОО1 до пересечения с (А1В1С1), получим высоту О1О2 призмы, равную диаметру сферы.

З а д а ч а 1.8. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом α при вершине, все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β. Радиус шара, вписанного в пирамиду равен r.Найти объем пирамиды.

Р е ш е н и е.

Пусть SABC– данная пирамида. Так как все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β, то высота пирамиды проецируется в точку Н – центр окружности, вписанной в основание. Проведем SК ВС, по теореме о трех перпендикулярах НК ВС. SKН – линейный угол двугранного угла при ребре ВС, SKН= β. Центр шара – точка О – точка пересечения высоты пирамиды и биссектрисы одного из линейных углов двугранного угла при основании пирамиды (см. задачу №4). , КО – биссектриса SKН.

В : , . . Из : , .

В : , , , , .

, , .

Ответ: объем пирамиды равен .

З а д а ч а 1.9. Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны а и в. Определить полную поверхность параллелепипеда.

Р е ш е н и е.

Так как в параллелепипед вписан шар, то в основании параллелепипеда лежит параллелограмм, в который можно вписать окружность. Следовательно, АВСD– ромб. Высота параллелепипеда равна диаметру вписанного шара: Н = 2r.

Имеем с другой стороны , тогда

Ответ: площадь полной поверхности параллелепипеда равна .

З а д а ч а 1.10. Основание пирамиды SABC– прямоугольный треугольник, катеты СА и СВ которого равны а. Боковое ребро SCперпендикулярно основанию и также равно а. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Р е ш е н и е.

Имеем с другой стороны , где r– радиус вписанного шара, Sп.п.– полная поверхность пирамиды, Н – высота пирамиды. Тогда , Sп.п.= SABC+ SSAC+SSBC; ; ;

ΔASB– равносторонний со стороной , тогда ;

Ответ: радиус шара, вписанного в пирамиду равен .

Задачи для самостоятельного решения.

1.Пирамида, основание которой прямоугольник со сторонами 6 и 7 дм, вписана в сферу. Высота пирамиды проходит через вершину основания и равна 6 дм. Найти радиус сферы.

Ответ: 5, 5 дм

2. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а , два двугранных угла при ребрах основания прямые, а два других равны . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Ответ: .

3. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник с длиной стороны, равной а. Высота пирамиды проходит через середину одного из ребер основания и имеет длину . Найти радиус шара, описанного вокруг пирамиды.

Ответ: .

4. Найти радиус сферы, вписанной в тетраэдр, у которого пять ребер равны по 2, а шестое равно 1.

Ответ: .

5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, в 3 раза больше высоты пирамиды. Найдите квадрат отношения площади поверхности пирамиды к площади ее основания.

Ответ: 1,4.

6. В треугольной пирамиде SABCбоковая грань SBCобразует с плоскостью основания АВС двугранный угол, равный . Треугольники SBCи АВС – равнобедренные с общим основанием ВС = а. Высота пирамиды равна h. Центр шара, описанного около пирамиды, лежит в плоскости основания. Найдите радиус описанного шара.

Ответ: .

7. Дана треугольная пирамида, длины ребер которой равны 15, 9, 9, 12, 12, 3.Найдите радиус описанной вокруг пирамиды сферы.

Ответ: 7,5.

8. Грани АВС и АВDтетраэдра ABCD– равносторонние треугольники со стороной а. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр, если плоскости данных граней взаимно перпендикулярны.

Ответ: .

9. В правильную четырехугольную пирамиду SABCD, у которой АВ=1дм,

SA= дм, вписан шар. Через точку шара, ближайшую к вершине S, проедена плоскость, параллельная стороне АВ. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

Ответ:дм.

10. Найти площадь поверхности шара, вписанного в пирамиду, основанием которого служит треугольник со сторонами 13см, 14см, 15см, если вершина пирамиды удалена от каждой стороны основания на расстояние 5см.

Ответ:см2.

11. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом . Найти объем пирамиды, если боковые грани образуют с основанием один и тот же двугранный угол , а радиус вписанного в не шара равен r.

Ответ: .

12. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, равные стороны которого имеют длину b, соответствующие им боковые грани перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол . Угол между третьей боковой гранью и плоскостью основания также равен . Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.

Ответ: .

13. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, боковая грань составляет с плоскостью основания угол . Найти радиус описанного шара.

Ответ: .

14. Около шара описана прямая призма, основанием которой служит ромб. Большая диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол . Найти острый угол ромба.

Ответ: .

15. Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого угол между диагоналями равен . Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, а наибольшее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол . Радиус шара, описанного около пирамиды равен R. Найти объем пирамиды.

Ответ: .

16. Основанием прямой призмы, описанной около шара радиуса r, служит прямоугольный треугольник с острым углом .Найти объем призмы.

Ответ: .

17. Все ребра тетраэдра ABCDимеют равную длину. На ребрах АВ, АС и ADвыбраны соответственно точки K, L, M так, что КВ=12, MD=8. Известно, что радиус шара, описанного около тетраэдра ABCD, равен , а объем пирамиды AKLMравен . Найдите сумму радиусов двух шаров: вписанного в пирамиду AKLM и описанного около нее.

Ответ: .

18. Основанием четырехугольной пирамиды SABCDслужит квадрат ABCD, а высота пирамиды совпадает с ребром SA. Найти высоту пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 3см, а сторона квадрата ABCDравна 15см.

Ответ:8 см.

19. В шар вписана прямая призма, в основании которой – правильный треугольник, а высота призмы равна стороне основания. Найти отношение объема призмы к объему вписанной в тот же шар правильной шестиугольной пирамиды, боковое ребро которой равно удвоенной стороне основания.

Ответ: .

20. Ребро SAчетырехугольной пирамиды SABCDперпендикулярно плоскости основания ABCD. Длина ребра SAравна 1. Основанием служит квадрат ABCDсо стороной 8. Точки Р и М - середины отрезков ADи CD. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду SDPM.

Ответ: .

21. Основанием пирамиды служит ромб, длина стороны которого 2 см, а величина острого угла равна . Шар, радиус которого равен см, касается плоскости каждой боковой грани в точке, лежащей на стороне основания пирамиды. Доказать, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания пирамиды. Найти объем пирамиды.

Ответ: см3.

22. В сферу радиуса см вписан параллелепипед, объем которого равен 8 см3. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.

Ответ: 24см2.

23. В прямую призму АВСDА1В1С1D1, нижним основанием которой является ромб АВСD, вписан шар радиуса R. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины А, В, С1, если известно, что .

Ответ: .

24. Правильная треугольная призма АВСА1В1С1 описана около шара радиуса r, М – середина ребра ВВ1, N– середина ребра СС1. В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости (AMN). Найти объем этого цилиндра.

Ответ: .

25. В правильный тетраэдр SABCс ребром а вписана сфера. На ребре SAвзята точка М так, что SM=AM, а на ребре ВС взята точка Nтакая, что 2CN=NB. Прямая MNпересекает сферу в двух точках Pи Q. Найти длину отрезка PQ.

Ответ: .

26. В пирамиде SABCоснование Н высоты SHлежит на медиане СМ основания АВС. Точка О, являющаяся серединой высоты SH, находится на одинаковом расстоянии от точки S, точки Е, лежащей на ребре SAи точки F, лежащей на ребре SB. Известно, что SH=8, АВ= , , угол SMCсоставляет не более , а расстояние между вершинами ребер АВ и SCравно . Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду SABC.

Ответ: .

27. В тетраэдре длины двух непересекающихся ребер равны 12 и 4, а остальные имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найти расстояние от центра сферы до ребра длины 12.

Ответ: .

28. В основании пирамиды SABCлежит равнобедренный треугольник АВС такой, что , АС=АВ= . Основание Н высоты SHпирамиды расположено так, что , ВН ׀׀АС. Найти радиус описанного около пирамиды SABCшара, если .

Ответ: .

29. Все ребра тетраэдра ABCDимеют одинаковую длину. На ребрах АВ, АС,

ADвыбраны соответственно точки K, L, Mтак, что КВ=15, MD=10. Известно, что радиус шара, вписанного в тетраэдр ABCDравен , а объем пирамиды AKLMравен . Найти сумму радиусов двух шаров, вписанного в пирамиду и описанного около нее.

Ответ: .

30. Основанием вписанной в сферу четырехугольной пирамиды SABCDслужит параллелограмм ABCD. Найти диагональ SD, если SA=7, SB=3, SC=6 и .

Ответ: 6.

§2. ШАР, КАСАЮЩИЙСЯ РЕБЕР МНОГОГРАННИКА

Пусть шар касается всех ребер некоторого многогранника. Тогда справедливы следующие утвержде­ния:

(1)каждая грань многогранника пересекаетповерхностьшара по окружности, касающейся ребер многогранника, то есть по окружности, вписаннойв грань; темсамымгранями многогранника будут такиемногоугольники, в которые можно вписать окружность;

(2) основание перпендикуляра, опущенногоиз центра шарана любуюгрань многогранника, является центромокружности, вписанной в этугрань;

(3) перпендикуляры, восставленные к плоскостям граней в центрахвписанных окружностей, пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех ребер многогранника- вцентре шара:

(4) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра шарана ребро многогранника, равен радиусу шара.

Теперь рассмотрим некоторые типы многогранников, для которых существуетуказанный шар.

Шар, касающийся ребер призмы

Т е о р ем а 2.1.Шар, касающийсявсех ребер призмы, существует тогда и только тогда, когда эта призмаправильная и все ее ребра равны междусобой.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

F2

F1

K

Пусть искомыйшар существует. Сначала докажем, что тогда призма - пря­мая. Проведем через центр К шара, высоту призмы: КO (АВС), ( ).По свой­ству (2) точки Oи являются центрамиокружностей, вписанных в равные основания призмы, следовательно, = OM( , ) как радиусы равных окружностей. ТочкиO, , M и лежат в одной плоскости, проходя­щейчерез прямую , и перпендикулярнойк АВ, по­этому - прямоугольники

(ABC). Далее, ∆ = ∆OMB, поэтому , то есть - прямоугольник, || (ABC).

Таким образом, боковые грани призмы являются прямоугольниками. Но по свойству (1) в эти грани можно вписать окружность, а если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник - квадрат; следовательно, бо­ковые грани призмы – квадраты. Отсюда АВ = ВВ = ВС=…, то есть в основании призмы лежит многоугольник с равными сторонами.Спроектируем призмус шаром наплоскость АВС; призма спроектируется в многоугольник АВС..., а шар - в окружность, описанную вокруг этого многоугольника. Но многоугольник с равными сторонами, вписанный в окружность, - пра­вильный, поэтому и призма - правильная.

Теперь докажем, что дляправильнойпризмы с равными ребрамиуказанный шар существует. Для этого нужно показать, что существует точка, равноудаленная от всех ребер этой призмы.Такой точкой является середина К отрезка , соединяющего центры оснований.

В самом деле, заметим, что отрезки КМ, КМ ,КN (и т. п. ) равны, как гипотенузы прямоугольных треугольников, один катет которых равен КО, а другой - апофеме правильного многоугольника АВС..., и равны перпендикулярам, опущенным из точки К на боковые ребра призмы: KF = ОА, вимеем AM= AB= BB = OO = KO, OM- апофема (аналогичнорассматриваютсяостальные боковые реб­ра).

Таким образом, теорема доказана. Причем доказано даже, что радиусшара, касающегося ребер такой призмы, равен радиусу окружности, описаннойвокруг основания призмы. На этом утверждении базируется решение задач на шар, касающийся ребер призмы.

З а д а ч а 2.1. В n-угольную призму вписаны два шара: один касается всехее граней, адругой- всехее ребер.Какаяэто призма?

Р е ш е н и е.

По теореме 1 эта призма - правильная. Далее, с одной стороны, MM = OM+ , поскольку в данную призму можновписать шар; с другой стороны, MM = AB, посколькусуществует шар, касающийся всех ребер призмы.Отсюда OM+ = AB, 2OM= AB.

Но OM= , поэтому = 1, n= 4. Следовательно, призма представляет собойкуб.

Шар, касающийся ребер пирамиды.

З а д а ч а 2.2. Шар касается всехребер тетраэдра. Доказать, что суммы противоположных ребер этого тетраэдра равны.

Р е ш е н и е.

Пусть шар касается ребер тетраэдраSAВСв точках M, N, K,F, Р, E. Касательные, проведенные из одной точки к данному шару, равны, поэтому

SM=SN=SK, AM=AP=AF,

BP=BK=BE,

CN=CF=CE.

В каждую из суммAS+ BC, AC+ BS, AB+ CSвходит ровно по одному отрезку из групп (1) – (4), следовательно, эти суммыравны.

Т е о р е м а 2.2. Если центр шара, касающегося всех ребер пирамиды, лежит на ее высоте, то такая пирамида - правильная.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть центрК шара лежит на высоте SO.Прямоугольные треугольники , (и т.д.) имеютобщуюгипотенузу SKи равные катеты: (радиусы шара), поэтому они равны. Отсюда∆SK = .

Прямоугольныетреугольники ASO, BSO (ит. д.) имеют общий ка­тет SOи равные острые углы при вершине S, поэтому они равны и ОА = ОВ = ОС=….Следовательно, О - центрокружности,описанной вокруг основания пирамиды.

По свойству (2) точка О является также центром окружности, вписанной в основание пирамиды. А если описаннаявокруг многоугольникаивписанная в многоугольник окружности являются концентрическими, то этот многоугольник - правильный (докажите!). Следовательно, исходная пирамида – правильная, теорема доказана.

При решении задач на шар, касающийсяребер правильной пирамиды, полезно использовать подо­бие прямоугольных треугольников и АSО ( - общий, ).

З а д а ч а 2.3. Сторона основанияправильнойчетырехугольнойпирамиды равна а, двугранный угол при боковомребреравен φ. Определить радиус шара, касающегося всехребер этойпирамиды.

Р е ш е н и е.

Легко доказать, что искомый шар существует; обозначим его центр че­рез К. Пусть . Проведем и (SCD). Соединимточки F и Р. Изтеоремы о трех перпендикулярах следует, что , и поскольку пирамидаправильная, ра­вен половине линейного угла двугранного угла при боковом ребре пирамиды, то есть . Заметим,что KF- радиус шара, касающегося ребер пирамиды, а P- центрокружности, вписанной в боковую грань SDC, поэтому PD- биссектриса , , PM= PF. Из и находим: PM= , KF= .

Теперь найдем связь между углами φ и х. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники ONDи DNC: , DN= DCsinx.

Отсюда . Находя теперь (с учетом неравенства 0 < x< /2), получаем ответ .
Автор: Неверовская Светлана Владимировна