Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями

Методическая разработка

Тема: Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.

Учитель: Удодова Любовь Валентиновна

Дата разработки: 15 ноября 2011 года.

Введение

Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдачи Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Цель данной работы рассказать о решении уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) дать определения понятиям уравнение с параметрами;

2) показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;

3) показать решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.

Объектом исследовательской работы было решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами выше представленных функций.

Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список.

3 Решение уравнений с параметрами

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, -степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, -это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Этому, по нашему мнению, во многом будут способствовать наши примеры.

Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.

Обычно в уравнение буквами обозначают неизвестные.

Решить уравнение - значит:

найти множество значении неизвестных, удовлетворяющих этому

уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(Х,

Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами^, о, с). Тогда мы

имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.

При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других - имеет только один корень, при третьих - два корня. При решении таких уравнений надо:

1)найти множество всех доступных значений параметров;

2) перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть
уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;

3) привести подобные слагаемые;

4) решать уравнение ах = Ь. Возможно три случая.

1. а ^0, b - любое действительное число. Уравнение имеет

Ъ единственное решение х = —.

а

2.а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: Ох = 0, решениями являются
BcexeR.

3.£= 0, hfQ. Уравнение Ох = b
решений не имеет.

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, я считаю целесообразным привести ответ.

Ответ:

х = — при а «ё 0, b — любое действительное число;

х - любое число при а = 0, b = 0; решений нет при а = 0, b Ф 0.

Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, тригонометрической и логарифмической функциями

х+ 1.

1. Найдем значения параметра п, при которых уравнение 15-10 х— 20 п - п • 10х+1не имеет корней?

Решение: преобразуем заданное уравнение: 15-10х-20 = п-п- 10

15-10x+n- 10x+1=n+ 20;10x-(15+ 10n) = n + 20;10x- n+2°

15 + Юи

Уравнение не будет иметь решений при ----------- < 0, поскольку 10 х

всегда положительно.

Решая указанное неравенство методом интервалов, имеем: ------- < 0;

15 + 10«

(п + 20>(15 + 10п) < 0; - 20 < п < - 1,5.

Ответ: [-20;-1,5].

2.Найдем все значения параметра а, при которых уравнение lg (1 + х )
+ (За - 2)- lg(l + х ) + а = 0 не имеет решений.

Решение: обозначим lg(l + х ) = z, z > 0, тогда исходное уравнение

-J ■J

примет вид: z +(3a-2)-z + a =0.Это уравнение - квадратное с дискриминантом, равным (За - 2)2 - 4а2 = 5а2 - 12а + 4. При дискриминанте меньше 0, то есть при 5а2-12а + 4<0 выполняется при 0,4 < а <2. Ответ: (0,4; 2).

3. Найдем наибольшее целое значение параметра а, при котором
уравнение cos2x + asinx = 2а - 7 имеет решение.

Решение: преобразуем заданное уравнение:

cos2x + asinx = 2a - 7; 1 - 2sin2x - asinx = 2a~7: sin2x — asinx + a - 4

2

0;

(sinx - 2) •

sinx-

f"-2 )

= 0.

Решение уравнения (sinx

-2)'

sinx-

£"2)

0 дает:

(sinx - 2) = 0; x принадлежит пустому множеству.

sinx

— 2 ) = 0; x = (-1)" arcsin —2 ) + 7tn, n e Z при

v2 V2

--2

v2 у

< 1.

Неравенство

--2

\2 j

< 1 имеет решение 2 < а < 6, откуда следует, что

наибольшее целое значение параметра а равно 6. Ответ: 6.

4. Указать наибольшее целое значение параметра а, при котором корни уравнения 4х - 2х + а = 0 принадлежит интервалу (- 1; 1).

Решение: корни заданного уравнения равны: xi = — (1+ VI - 4а)

х2 = _(i - Vi-4a ), при этом а < —.

По условию -1 < -(1+ л/1-4а) < 1 о- -5< Vl-4a< 3,

- 1 < -Ц-Vl-4а )< 1 ^>5 > Vl-4а > - 3.

4V

Решением, удовлетворяющим указанным двойным неравенствам, будет решение двойного неравенства: - 3 < VI-4а < 3.

Неравенство - 3 < Vl-4a выполняется при всех а < —, неравенство VI - 4а < 3 - при - 2 < а < —. Таким образом, допустимые значения параметра а лежат в интервале (-2; —

Наибольшее целое значение параметра а из этого интервала, которое одновременно принадлежит и интервалу (-1; 1), равно 0. Ответ: 0.

5. При каких значениях параметра а число корней уравнения

\х -8| х |+ 7| = 0 равно а?

Решение: построим эскиз графика функции, у = \х -8|х |+7| при этом

учтем, что функция у - четная и ее график - симметричен относительно оси ординат, в силу чего можно ограничиться построением только его правой части ( х > 0). Также учтем, что трехчлен х2 - 8х + 7 имеет корни х = 1 и х = 7, при х = 0 у = 7, а при х = 4 - минимум, равный - 9. На рисунке: пунктирными прямыми изображена парабола

у = х2 - 8х + 7 с минимумом умин равным - 9 при х мин= 4, и корнями xi = 1 и х2 = 7;

сплошными линиями изображена часть параболы у = |х - 8х + 7| (1 < х

< 7), полученная зеркальным отражением относительно оси Ох части параболы

х2 - 8х + 7 при К х < 7.

(Эскиз левой части графика функции при х < 0 можно получить, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси Оу).

Проводя горизонтали у = а, а е N, получаем к точек ее пересечение с линиями эскиза графика. Имеем:

а

0

6]

[1;

7

8

9

[l0;+£

к

4

8

7

6

4

2

Таким образом, а = к при а = 7. Ответ: 7.

6. Указать значение параметра а, при котором уравнение х4 + (1 - 2а)х2 + а2 - 4 = 0 имеет три различных корня.

Решение: всякое биквадратное уравнение в общем случае имеет две пары корней, причем корни одной пары различаются только знаком. Три корня возможны в случае, если уравнение имеет одну пару в виде нуля.

Корни заданного уравнения равны:

х

= + |(2^ ~ ^ ± У(2^ ~ I)2~ 4(а2 ~ 4Т =+ |(2а-1)±л/Г7

-4а

Одна из пар корней будет равна 0, если (2а-1) = Vl7-4a . Решая это уравнение при условии 2а-1 > 0 <=> а> —, имеем: (2а - 1) = Vl7-4a «(2a -

1)2=17-4а«

4а2 - 4а +1 = 17 - 4а о а = 2. Ответ: 2.

7. Указать целое значение параметра/?, при котором уравнение s[p cosx - 2sinx = л/2 + -у]2-р имеет решение.

Решение: р > 0; 2 - р > 0 <=> р < 2; объединяя допустимые значения параметра/?, имеем:

9 0<р<2.

При р = 0 исходное уравнение принимает вид - 2sinx = 2V2 <=>х принадлежит пустому множеству ( в силу ограниченности синуса). Ирир = 1 исходное уравнение принимает вид:

cosx-2sinx= V2 +1. Максимальное значение разности (cosx-2sinx) составляет V5J(cosx - 2 sinx) = (- sinx - 2cosx) = 0 <t=> tgx = -2, при этом sinx =

_ 'у

sin (arctg(-2)) = —=, cosx - 2sinx = Vs ], что меньше V2 +1.

-n/5

Следовательно, при p = 1 уравнение решений не имеет. При р = 2 исходное уравнение принимает вид

V2cosx-2sinx = V2 .

Максимальное значение разности V2cosx-2sinx составляет л/б прих =

-V2 1

arctg(-V2) (при этом sinx = —==- , cosx = —=). Поскольку л[б> 42 +1, то

V3 V3

уравнение V2cosx-2sinx = V2 будет иметь решение. Ответ: 2.

8. Определить число натуральных п, при которых уравнение --------------- = —

и-10 х

не имеет решения.

Решение: х Ф 0, п Ф 10.

х-8 п [х2-8х-иО-10) = 0,

■ = — <=>

п-10 х [х*0,и^10

Уравнение х2 - 8х - п(п — 10) = 0 не имеет решения, если его дискриминант меньше 0, т.е. 16 + п(п-10) <0 <=> п -10п+16<0 о (п-2) (п-8) <0 о 2 < п < 8.

В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая условие п Ф 10, находим, что общее число натуральных п, при которых уравнение не имеет решений, равно 6.

9. Найти наименьшее целое значение параметра а, при котором

11 к

уравнение----- +------ = а (0 < х < — ) имеет решение.

sinx cosx 2

Решение: по условию 1 > sinx > 0 <г> 1 <- < + оо,

sinx

1 > COSX > 0<» 1 < ------ < + оо,

cosx Следовательно, 2 < а < + оо. Возводя обе части заданного уравнения в квадрат, имеем:

1 1

■ + -

а —т~ + —--------- +—^ =а <=>

sin х sin х-cosx cos x

( 1 1 ^ 2<=> 1 2 1 __2

smx cosx у

1 2 2

sin2 х-cos2 х smx-cosx

+----------- =а .

Введем переменную z = ------------- . Тогда исходное уравнение примет

sin х • cos x

вид:

z + 2z - а =0. Оно имеет решение при любом а, поскольку его

дискриминант

D = 1 + а2 положителен при любом а.

Учитывая, что 2 < а < + <х>, заключаем, что наименьшее целое значение параметра а, при котором заданное уравнение имеет решение равно 3.

Ответ: 3.

11

Заключение По завершению работы я пришла к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Учащимся знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительные экзамены в ВУЗы.

Используемая литература.

1. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.СЯкир «Задачи с параметрами», 2002г.

2. Н.Ю.Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы», 1994г.

3. В.В.Локоть «Задачи с параметрами», 2003г.

4. В.В.Ткачук «Математика - абитуриенту», 1994г.

5. Г.А.Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г.

6. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», 1987г.

7. В.С.Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа», 1994г.

8. «Математика. Решение задач повышенной сложности», 2004г.

9. М.И. Шабунин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, Р.Г. Газарян «Алгебра и начала анализа», 2000г.

10. А.П. Карп «Даю уроки математики...», 1992 г.

11. В.В. Ткачук «Математика - абитуриенту», 1996 г.