Главная / Старшие классы / Алгебра

Программа элективного курса по математике для учащихся 10-11-х классов<<Методы решеня тригонометрических уравнений>>

Скачать
21.5 КБ, 848121.doc Автор: толкачева лариса викторовна, 1 Апр 2015

Автор

Авторская программа элективного курса по математике для учащихся 10-11-х классов << Методы решения тригонометрических уравнений >>,

автор Толкачева Л.

Умения решать уравнения являются одним из показателей уровня математического развития, глубины изучения учебного материала. Тригонометрические уравнения имеют важное значение в общем ряду всех видов алгебраических уравнений относительно тригонометрических функций неизвестного аргумента. Умение осуществлять поиск решения уравнения способствует формированию математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках . Важную роль при решении уравнений имеет формирование алгоритмического мышления, воспитание умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые .

1. Пояснительная записка.

Элективный курс, с одной стороны поддерживает изучение основного курса математики. С другой стороны направлен на систематизацию знаний, в том числе и общих методов решения уравнений, реализацию внутри предметных связей. Способствует лучшему освоению базового курса математики, служит для внутри профильной дифференциации и раскрытия основных закономерностей построения поиска решения математической задачи.

Основная функция учителя в данном курсе состоит в сопровождении учащегося в его познавательной деятельности, коррекции, помощи в извлечении из полученных ранее знаний тех, которые актуализируют в данном курсе .

Курс целесообразно изучать параллельно с изучением тригонометрии по основной программе, после изучения или при повторении и подготовке к единому государственному экзамену .

Цели курса :

- знакомство с различными методами и приёмами решения тригонометрических уравнений;

-формирование соответствующих умений при решении нестандартных тригонометрических уравнений;

-систематизация опыта приобретенного при решении уравнений, обобщение различных подходов к поиску способов решений уравнений.

Задачи курса:

-интеграция знаний по разнообразию методов решения тригонометрических уравнений ;

-активизация познавательной деятельности учащихся ;

-повышение информационной и коммуникативной компетентности школьников;

-решать нестандартные уравнения, используя специальные методические методы;

-производить прикидку и оценку результатов вычислений ;

-работать с различными источниками информаций;

-обосновать свою точку зрения ;

-демонстрировать свои личные достижения .

2.Учебно-тематический план

N

Тема занятий

Число

часов

Форма занятий

Форма контроля

1

Простейшие тригонометрические

уравнения..Решение типовых заданий

2

Групповая работа,

Сообщения учащихся

Тестовая проверка

(задания типа В ЕГЭ)

2

Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

2

Лекция практикум по решению заданий самостоятельная работа

Презентация самостоятельно выбранного задания

3

Использование метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений

2

Семинар-практикум

Рецензирование сообщений групп

4

Уравнения,решаемые понижением степени

2

Эвристическая беседа парная работа индивидуальная самостоятельная работа

Подборка задач по теме занятия к главе учебника ,, Методы решения тригонометрических уравнений’’

5

Однородные уравнения и приводимые к ним

2

Урок-конференция Представление и защита подготовленных заданий

Проверка самостоятельных индивидуальных заданий Собеседование при подготовке к конференции

6

Введение вспомогательного угла

2

Сообщения учащихся практикум по решению заданий

Рейтинговая самостоятельная работа

7

Уравнения , решаемые с помощью формул сложения и умножения тригонометрических функций

2

Консультация по работе с дополнительной литературой Групповая и индивидуальная работа с дополнительной учебной литературой

Текущий контроль

8

Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию

2

Лекция, фронтальная работа ,парная и индивидуальная работа

Подбор и решение заданий на изученные методы к главе учебника ,, Методы решения тригонометрических уравнений ‘’

9

Решение тригонометрических уравнений методом экспериментальных значений

2

Эвристическая беседа Семинар-практикум Собеседование по подготовке к итоговому занятию

Тестовая проверка (задания типа В и С ЕГЭ)

10

Итоговое занятие

2

Представление и защита рефератов, презентаций ,аукцион задач

Всего ( 20часов)

3.Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий

3.Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий

3.1Простейшие тригонометрические уравнения Решение типовых заданий(2часа)

На первом занятии повторяются основные формулы корней простейших тригонометрических уравнений вида cosх=a , sinх=a , tgх=a , ctgх=а .В качестве расширения знаний учащихся предлагаются уравнения с дополнительными заданиями:

--найти наименьший ( наибольший) положительный (отрицательный) корень уравнения;

--указать ближайший к заданному числу корень уравнения ;

--найти наибольшую длину отрезка ,внутри которого не содержится ни одного корня ;

--между какими корнями уравнения заключено заданное число .

Учащимся предлагаются различные способы выполнения дополнительных заданий; арифметический, алгебраический, геометрический .

Рассматриваются уравнения вида Т (f(х))=0,где Т означает одну из тригонометрических функций.

Для организации групповой, индивидуальной, домашней работы можно использовать предлагаемый дидактический материал.

Решить тригонометрические уравнения ,значит найти все его корни-все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению.

Все тригонометрические уравнения решаются сведением к одному из четырёх простейших .

3.2Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной(2часа)

На занятиях обобщаются и расширяются знания учащихся по решению тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

Путём преобразования тригонометрических уравнений к виду ,удобному для обозначения отдельных тригонометрических функций (или их комбинаций) новой переменной .

Наряду со знакомыми подстановками сводящими, тригонометрическое уравнение к квадратному(T(f(x))=t,универсальная тригонометрическая подстановка) рассматриваются подставки:

-в уравнениях вида f(sinx±cosx, sinx× cosx)вводится подстановка cosx±sinx=t

-T(f(x)) ± =1

-обозначение аргумента одной из функций новой переменной.

К предложенному дидактическому материалу можно использовать задания из других учебных пособий.

3.3Использование метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений(2часа)

Cметодом разложения на множители учащиеся ознакомились в основной школе, решая алгебраические уравнения.

Суть этого метода состоит в следующем: если уравнениеf(x)=0 удаётся преобразовать к виду:f1(x)f2(x)…..fn(x)=0,то задача сводится к решению совокупности уравнений с учетом области определения исходного уравнения .При решении тригонометрических уравнений данным методом используют: вынесения общего множителя за скобки, формулы сокращенного умножения, выделения полного квадрата, группировку, комбинирование различных приёмов. Так как все приёмы разложения на множители знакомы учащимся, то занятие можно провести в форме семинара ,опираясь на имеющиеся у учащихся знания, актуализируя их и применяя в новой ситуации.

3.4 Уравнения, решаемые понижением степени(2часа)

Если в уравнении содержатся функции sinx , cosx в четной степени, то часто бывает удобным использовать формулы понижения степени .

sin²x=(1-cos2x); cos²x=(1+cos2x).

Использование этих формул позволяет понизить любую четную степень относительно sinx и соsx и, применяя при необходимости другие способы решения тригонометрических уравнений , привести его к простейшим. В учебных пособиях можно найти достаточное количество тригонометрических уравнений, решаемых с использованием данного метода .На занятии целесообразно рассмотреть уравнения, содержащие sinxcosxв четвёртой или шестой степени, где наряду с формулами понижения степени используются формулы сокращённого умножения.

3.5.Однородные уравнения и приводимые к ним(2часа)

В учебных пособиях ,,Алгебра и начала анализа”для средней общеобразовательной школы рассматриваются однородные уравнения не выше второй степени .Поэтому, опираясь на опыт решения однородных уравнений не выше второй степени с повторением алгоритма решения , можно сформулировать определение однородного уравнения степени nи выработать общий приём решения таких уравнений.

3.6.Введение вспомогательного угла(2часа)

Суть данного метода состоит в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента φ ,а затем производят тригонометрические преобразования. Рассмотрим уравнения вида asinx+bcosx=c.

Решить данное уравнение можно тремя способами.

1СПОПОБ

asinx+bcosx=с

2asincos+b(cos²sin²)=c(cos²+sin²) получим уравнение второй степени.

2СПОСОБ

Используя универсальную подстановку sinx=;

cosx=, если tg=t,то получим a+b=c.

3 СПОСОБ

Введение вспомогательного угла .Вынесем за скобки множитель.

Получим

(sinx+cosx)=с .

Так как ()²+()²=1,то первое число можно принять за косинус некоторого угла, а второе за синус того же угла, то есть , sin.

Тогда имеем:

(cossin+sincos)=с

Sin(+x)=

Это уравнение имеет решение, если a+bc

x+=(-1) arcsin+, n

x=(-1)arcsin+

так как tgто n

Ответ: (-1)arcsin+, n

3.7.Уравнения ,решаемые с помощью формул сложения и умножения При изучении основ тригонометрии на базовом уровне формулы :синуса , косинуса ,тангенса суммы и разности двух углов изучаются на обязательном уроке, а формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму выделены курсивом . Требования , выделенные курсивом в стандарте , не предъявляются выпускникам .

Поэтому , при необходимости , на первом занятии по этой теме уделить внимание формулам сложения , показать их применение при решении тригонометрических уравнений .Второе занятие посвятить формулам преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и решению уравнений с их помощью .

Можно использовать групповую работу или самостоятельную работу с дополнительной литературой .

Cучащимися, хорошо владеющими теоретическими знаниями , организовать индивидуальную практическую работу .

3.8.Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию(2часа)

Иногда решение тригонометрического уравнения существенно облегчается, умножить обе его части на некоторую тригонометрическую функцию.

При этом надо помнить, что возможно появление посторонних корней, корней функции, на которую умножали уравнение. Поэтому либо надо умножить на функцию, не имеющую корней, и получать равносильное уравнение, либо умножить на функцию, имеющую корни, но каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это его корнем .

С приемом умножения одной части уравнения на тригонометрическую единицу

( sin² x+cos²x=1),учащиеся уже встречались при изучении темы ,, Однородные уравнения и приводимые к ним “.

Поэтому учащимся надо предложить вначале выявить характерную особенность этого уравнения и вывести на прием . Отметить , что в данном случае не появляются посторонние корни .При решении заданий учащиеся знакомятся с различными способами отбора корней .

Материалы для домашней самостоятельной работы можно пополнить из других учебных пособий .

3.9.Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений(2часа)

Решение большого количества тригонометрических уравнений может быть сведено к решению системы уравнений .Примером таких уравнений могут служить следующие:

Sinαx×Sinßx=±1,

Sinαx×Cosßx=±1 А(sinαx)+B(cosαx)=±(|A|+|B| ) (1)

A(sinαx)+B(sinßx)=±(|A|+|B| ) ,где α ,ß, A, B-данные действительные числа , nи m- данные натуральные числа. При решении таких уравнений используется следующее свойство синуса : если для некоторого числа х справедливо строгое неравенство |sinx|<1, то такое число х не может быть корнем ни одного из уравнений (1). Аналогично , при решении уравнений вида

CosαxCosßx=+1

A(cosαx)+B(cosßx)=±(|A|+|B|) (2)

используется свойство косинуса : если для некоторого числа х справедливо строгое неравенств ΙcosαxΙ‹1 , то такое число х не может быть корнем ни одного из уравнений вида (2) . Примером таких уравнений может быть уравнение sinx×cos4x=1, которое равносильно совокупности двух систем уравнений:

Sinx=1 sinx=-1

Cos4x=1 Cos4x=-1

Уравнение 3cosx-2sinx=1 равносильно системе

Sinx=-1

|cos2x|=1

На занятии рассматриваются также другие виды уравнений , где используются свойства синуса и косинуса .

4.Дополнительный материал

4.1Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа ,одной и той же тригонометрической функции

4.2Тождественные преобразования одной из частей уравнения

4.3Метод рассуждения с числовыми значениями

Данные рассуждения применяются при решении уравнений и их систем, для каждого из которых нет готового метода решения .

Пусть надо решить систему уравнений

f(x;y)=0

g(x;y)=0

Предположим, что она имеет решение, т.е. предположим, что существует пара чисел (х;y) такая, что для неё справедливы числовые равенства f(x; y)=oи в g(x; y)=0.

Из этого предположения вытекает , что , все выражения, входящие и в выражение f(x; y) и в g(x; y) ,определены для этой пары чисел (x; y ) Для решения системы надо найти все пары (x.; y)и показать , что других ,, претендентов “ на роль решения системы нет. После чего остаётся сделать последний шаг : проверить, какие же из найденных пар действительно являются решениями системы, а какие нет .

Список литературы

  • Алимов Ш.А. Колягин Ю.М. и др.Алгебра и начала анализа ; Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений-М; Просвещение 2004
  • Бородуля И.Л . Тригонометрические уравнения и неравенства .-М; Просвещение.1989
  • Виленкин Н.Я.и др. Алгебра и математический анализ :Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики.-М:Просвещение.2005.
  • 4 . Галицкий М.Л. и др.Сборник задач по алгебре для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики .-М: Просвещение, 1994.

    5. Дорофеев Г.В. ,Кузнецова Л.В. Седова Е.А. Алгебра и начала анализа : Учебник для общеобразовательных учреждений .-М: Дрофа.2005.

    6. Колмогоров А.М. и др. Алгебра и начала анализа . Учебник для 10-11 классов средней школы .-М .:Просвещение , 2005.

    7. Колягин Ю.М. и др.Алгебра и начала анализа: Учебник для общеобразовательных учреждений .-М.: Мнемозина , 2004 .

    8. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа .-М .: Просвещение, 1990.

    9. Кутепов А.К., Рубанов А.Т.Задачник по алгебре и элементарным функциям: Учебное пособие для учебных заведений .-М: Высшая школа , 1974.

    10. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Практикум по элементарной математике. Алгебра . Тригонометрия .-М; Просвещение ,1991

    11. Мордкович А.Г. ,Семёнов П.В. Алгебра и начала анализа для 10 класса общеобразовательных учреждений ( профильный уровень ).-М: Мнемозина ,2005.

    12. Никольский С.М. и др.Алгебра и начала анализа : Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений (профильный уровень)-М: Мнемозина , 2005.

    13. Самусенко А.В., Казаченок В.В. Математика :типичные ошибки абитуриентов .- Минск : Высшая школа .1995

    14. Столин А.В. Комплексные упражнения по математике с решениями .7-11 кл. Харьков.1995 .

    15. Интерактивный курс подготовки к ЕГЭ по математике .-ООО ,, Медиахауз” . ООО

    Издательство ,, Экзамен “ , разработка,2007/

    17. Журналы ,, Математика в школе “ .

    ская программа элективного курса по матем

    Авторская программа элективного курса по математике для учащихся 10-11-х классов << Методы решения тригонометрических уравнений >>,

    автор Толкачева Л.

    Умения решать уравнения являются одним из показателей уровня математического развития, глубины изучения учебного материала. Тригонометрические уравнения имеют важное значение в общем ряду всех видов алгебраических уравнений относительно тригонометрических функций неизвестного аргумента. Умение осуществлять поиск решения уравнения способствует формированию математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках . Важную роль при решении уравнений имеет формирование алгоритмического мышления, воспитание умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые .

    1. Пояснительная записка.

    Элективный курс, с одной стороны поддерживает изучение основного курса математики. С другой стороны направлен на систематизацию знаний, в том числе и общих методов решения уравнений, реализацию внутри предметных связей. Способствует лучшему освоению базового курса математики, служит для внутри профильной дифференциации и раскрытия основных закономерностей построения поиска решения математической задачи.

    Основная функция учителя в данном курсе состоит в сопровождении учащегося в его познавательной деятельности, коррекции, помощи в извлечении из полученных ранее знаний тех, которые актуализируют в данном курсе .

    Курс целесообразно изучать параллельно с изучением тригонометрии по основной программе, после изучения или при повторении и подготовке к единому государственному экзамену .

    Цели курса :

    - знакомство с различными методами и приёмами решения тригонометрических уравнений;

    -формирование соответствующих умений при решении нестандартных тригонометрических уравнений;

    -систематизация опыта приобретенного при решении уравнений, обобщение различных подходов к поиску способов решений уравнений.

    Задачи курса:

    -интеграция знаний по разнообразию методов решения тригонометрических уравнений ;

    -активизация познавательной деятельности учащихся ;

    -повышение информационной и коммуникативной компетентности школьников;

    -решать нестандартные уравнения, используя специальные методические методы;

    -производить прикидку и оценку результатов вычислений ;

    -работать с различными источниками информаций;

    -обосновать свою точку зрения ;

    -демонстрировать свои личные достижения .

    2.Учебно-тематический план

    N

    Тема занятий

    Число

    часов

    Форма занятий

    Форма контроля

    1

    Простейшие тригонометрические

    уравнения..Решение типовых заданий

    2

    Групповая работа,

    Сообщения учащихся

    Тестовая проверка

    (задания типа В ЕГЭ)

    2

    Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

    2

    Лекция практикум по решению заданий самостоятельная работа

    Презентация самостоятельно выбранного задания

    3

    Использование метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений

    2

    Семинар-практикум

    Рецензирование сообщений групп

    4

    Уравнения,решаемые понижением степени

    2

    Эвристическая беседа парная работа индивидуальная самостоятельная работа

    Подборка задач по теме занятия к главе учебника ,, Методы решения тригонометрических уравнений’’

    5

    Однородные уравнения и приводимые к ним

    2

    Урок-конференция Представление и защита подготовленных заданий

    Проверка самостоятельных индивидуальных заданий Собеседование при подготовке к конференции

    6

    Введение вспомогательного угла

    2

    Сообщения учащихся практикум по решению заданий

    Рейтинговая самостоятельная работа

    7

    Уравнения , решаемые с помощью формул сложения и умножения тригонометрических функций

    2

    Консультация по работе с дополнительной литературой Групповая и индивидуальная работа с дополнительной учебной литературой

    Текущий контроль

    8

    Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию

    2

    Лекция, фронтальная работа ,парная и индивидуальная работа

    Подбор и решение заданий на изученные методы к главе учебника ,, Методы решения тригонометрических уравнений ‘’

    9

    Решение тригонометрических уравнений методом экспериментальных значений

    2

    Эвристическая беседа Семинар-практикум Собеседование по подготовке к итоговому занятию

    Тестовая проверка (задания типа В и С ЕГЭ)

    10

    Итоговое занятие

    2

    Представление и защита рефератов, презентаций ,аукцион задач

    Всего ( 20часов)

    3.Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий

    3.Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий

    3.1Простейшие тригонометрические уравнения Решение типовых заданий(2часа)

    На первом занятии повторяются основные формулы корней простейших тригонометрических уравнений вида cosх=a , sinх=a , tgх=a , ctgх=а .В качестве расширения знаний учащихся предлагаются уравнения с дополнительными заданиями:

    --найти наименьший ( наибольший) положительный (отрицательный) корень уравнения;

    --указать ближайший к заданному числу корень уравнения ;

    --найти наибольшую длину отрезка ,внутри которого не содержится ни одного корня ;

    --между какими корнями уравнения заключено заданное число .

    Учащимся предлагаются различные способы выполнени
    Автор: толкачева лариса викторовна

    Похожие материалы
    Тип Название материала Автор Опубликован
    документ Программа элективного курса по математике для учащихся 10-11-х классов<<Методы решеня тригонометрических уравнений>> толкачева лариса викторовна 1 Апр 2015
    документ Элективный курс <<Олимпиада на отлично>> ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «Олимпиада на отлично» (для учащихся 7 – 11 классов) Тарасов Евгений Владимирович 21 Мар 2015
    документ Программа элективного курса «Методы решения физических задач повышенной сложности» для учащихся 10-х-11-х классов Фирсова Наталья Евгеньевна 21 Мар 2015
    разное Авторская программа элективного курса для обучающихся 10-11 классов "Способы решения тригонометрических уравнений" Дрожина Валентина Ивановна 1 Апр 2015
    документ Программа элективного курса по математике "Практикум по математике" 10 класс Программа элективного курса по математике для учащихся 10-го класса Решение простейших тригонометричес-ких уравнений. Вараксина Людмила Владимировна 1 Апр 2015
    документ Авторская программа элективного курса по математике для учащихся 10-11 классов "Математика: избранные вопросы " Полякова Галина Михайловна 21 Мар 2015
    документ Программа элективного курса по алгебре для учащихся 11 классов. " Методы решения уравнений высших степеней" Калашникова Любовь Михайловна 4 Апр 2015
    разное Консультация для родителей <<Великая битва ,или 10 советов ,как накормить малыша>>. Прохорова Светлана Дмитриевна 31 Мар 2015
    документ Программа элективного курса по химии в рамках подготовки учащихся 10–11-х классов к сдаче ЕГЭ Кононенко Светлана Юрьевна 21 Мар 2015
    документ Конспект игрового фольклора по развитию речи и рисованию для детей 2 - 3 лет <<Семья Петушка>> Плытникова Наталия Трофимовна 30 Мар 2015
    документ конспект нод по художественному творчеству:<<Подарки для котят>>. Рябова Оксана 18 Янв 2016
    документ Урок по физической культуре <<Лёгкая атлетика>> Третьякова Светлана Ивановна 11 Апр 2015
    документ Программа элективного курса по математике для учащихся 9 классов Деева Ирина Викторовна 8 Дек 2015
    документ Программа элективного курса по математике для учащихся 10-11 классов « Подготовка к ЕГЭ: решение дополнительных задач по алгебре и геометрии » « Подготовка к ЕГЭ: решение дополнительных задач Елисеева Татьяна Евгеньевна 20 Мар 2015
    документ Программа элективного курса по математике для учащихся 9-х классов «Решение текстовых задач» Бычкова Светлана Владимировна 9 Фев 2016
    разное Образовательная программа<<Дополнительные главы математики >> толкачева лариса викторовна 1 Апр 2015
    документ Программа элективного курса по математике для учащихся 10 классов. "ГЕОМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА" Филатова Наталья Евгеньевна 21 Мар 2015
    разное Презентация. Работа по теме <<Проценты>> Брюховецкая Зоя Григорьевна 31 Мар 2015
    документ Программа элективного курса для учащихся 10-х классов "Решение расчетных задач по неорганической химии" Сабурова Светлана Ананьевна 20 Мар 2015
    документ «Программа элективного курса по математике для 10 – 11 классов физико-математического профиля « ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ»    «Программа элективного курса по математике  для 10 – 1 Писаренко Татьяна Викторовна 20 Мар 2015
    документ Программа элективного курса по математике для 10-11 класса Предлагаемый элективный курс адресован учащимся 10 и 11 классов. Главная его идея – это профильная ориентация учащихся на выбор дальнейшего пути обучения, организация систематического и сист Мавчун Елизавета Марковна 4 Апр 2015
    документ ПРОГРАММА элективного курса для учащихся 10,11 классов Шубунова Валентина Ивановна 11 Апр 2015
    разное Фрагмент учебного занятия по английскому языку: "Защита проекта при реализации ФГОС: <<Открытка для Тайни>> "; (Умк Биболетова М.З., ФГОС); 3Б класс МКОУ ВСОШ №2 Ольга Александровна Булатошкина 5 Ноя 2015
    документ Конспект непосредственной образовательной деятельности по социально-личностному развитию для детей старшего возраста. Тема: <<Мы совершаем добрые поступки>> Алексеева Жанна Владимировна 15 Фев 2016
    документ Программа элективного курса по экологии для учащихся 9, 10 (11) классов "Экологическая обстановка Омской области" Свирская Елена Владимировна 21 Мар 2015
    документ Рабочая программа элективного курса по математике для 10-11 классов "Параметры и модули" Манешина Наталия Вячеславовна 1 Апр 2015
    документ Программа элективного курса по математике для учащихся 10-го класса "Практикум по математике" Саватеева Ирина Петровна 8 Фев 2016
    документ ПРОГРАММА элективного курса по математике "Решение задач с параметрами" для учащихся 11 класса Бондарева Татьяна Устиновна 21 Мар 2015
    документ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА элективного курса для учащихся 10-х классов «Органическая химия. Дополнительные главы» Ченцова Наталья Николаевна 21 Мар 2015
    документ Избранные вопросы геометрии. Авторская программа элективного курса для учащихся 10-х классов Возняк Светлана Алексеевна 16 Фев 2016
    документ Программа элективного курса «Химия и производство некоторых неорганических и органических соединений» для учащихся 11-х классов. Сабурова Светлана Ананьевна 20 Мар 2015
    документ Программа элективного курса по математике «Наглядная геометрия» для учащихся начальных классов. Вера Александровна Герелес 30 Мар 2015
    документ Программа элективного курса по математике для учащихся 5-6 классов Деева Ирина Викторовна 8 Дек 2015
    документ конспект урока по математике « Сравнение по количеству с помощью знаков > и < ». 1 класс Веневцева Екатерина Александровна 30 Мар 2015
    документ Занятие по математике "Знаки > и <" (по программе "Радуга") Гуптор Ирина Сергеевна 31 Мар 2015
    документ Программа элективного курса по математике "Избранные вопросы математики" 9 класс Программа элективного курса по математике для учащихся 9-го класса "Избранные вопросы математики" Вараксина Людмила Владимировна 1 Апр 2015
    документ Конспект урока по математике. Тема урока: «Неравенства. Знаки > , < .» Чистякова Елена Евгеньевна 30 Мар 2015
    документ Консультация для родителей<<Детский фольклор>> Плытникова Наталия Трофимовна 31 Мар 2015
    документ Конспект семинар - практикум для родителей.<<игровое взаимодействие детей и родителей>> Плытникова Наталия Трофимовна 31 Мар 2015
    документ Конспект семинар - практикум для родителей. <<играем ручками и пальчиками под фольклор>> Плытникова Наталия Трофимовна 31 Мар 2015