Урок-исследование по теме "Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений"

Цель урока:

Вывести формулы квадратов суммы и разности двух чисел.
Сформировать умение учащихся практически применять эти формулы для упрощения выражений.
Воспитывать активность, внимательность, самостоятельность.
Развивать математическую речь, память, интерес к математике, умение логически рассуждать.

Ход урока.

Введение.
«Ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращённого умножения. Их несколько. Сегодня вам предстоит сыграть роль исследователей и «открыть» две из этих формул».

I. Устные упражнения.

1. Найдите квадраты выражений.
b ; - 3 ; 6а ; 7х2 у3.

2. Найдите произведение 5 b и 3 с. Чему равно удвоенное произведение этих выражений?

3. Прочитайте выражения.

а) х + у в) (к + 1)2 д) (а –b)2
б) с2 + р2 г) р – у е) с2 – х2

4. Перемножить данные многочлены.

( 4 – а) • (3 + а).

5.Объясните, как умножить многочлен на многочлен.

II. Новый материал.

Исследовательская работа.

Для исследовательской работы учащиеся объединяются в группы. В них входят ребята с разной математической подготовкой. Каждой группе предлагается заполнить на доске три строки таблицы, перемножив пары двучленов, приведённых в этой строке. После того как ребята справились с заданиями, один из них выходит к доске и записывает в правом столбце таблицы полученный ответ. Средняя часть таблицы закрыта.

Задание: Найти произведение данных многочленов.

I II III
1) (а + b) (а +b)

2) (с + d ) (d + c)

3) (x – y) (x – y)

Из Д / З. № 731

(x + 10) (x + 10)

(3a – 1) (3a – 1)

(5 – 6b) (5 – 6b) (а +b)2

(c + d)2

(x – y)2

(x + 10)2

(3a – 1)2

(5 - 6b)2 = а 2 + 2аb + b2

= c2 + 2 c d + d2

= x2 – 2 x y – y2

=

=

=

Вопросы: 1) Есть ли нечто общее в условиях и ответах?
2) Можно ли выражения в I cтолбце записать короче?
Получив ответы, учитель открывает II столбец.
( Открыть II столбец)
- Вы уже приступили к исследованию темы урока, поскольку находили произведение двух одинаковых двухчленов (1 столбец таблицы), т.е. возводили в квадрат сумму и разность двух выражений (2 столбец таблицы).

Обсуждение полученных результатов

Анализ III столбца:

1) После приведения подобных членов подсчитайте, сколько получилось членов в каждом многочлене? (ответ: трёхчлен)

2) Что представляет собой 1й, 2й и 3й члены по сравнению с 1-м и 2-м выражениями, стоящими в основании соответствующей степени?

1-й член – квадрат первого выражения.
2-й член – удвоенное произведение первого и второго выражений.
3-й член – квадрат второго выражения.
Итог.
Учащиеся записывают общую формулу квадрата суммы двух чисел и дают словесное описание.

(а + b)2 = а 2 + 2аb + b2 - формула сокращённого умножения.

(подчёркивается, что эта формула в дальнейшем будет применяться для возведения в квадрат суммы двух выражений).

Исследование начинается с вопросов.
1) Изменяется ли результат, если возвести в квадрат не (а + b)2, а (а – b)?
2) Как можно проверить наше предположение?
(Выясняется, что можно проверить воспользовавшись таблицей, если во всех скобках левого столбца знаки «+» поменять на «- «).

Учащиеся (проверка происходит в группах) проверяют результат и выясняют, что « - « стоит только перед удвоенным произведением.
(а – b)2 = а 2 – 2аb + b2

-Для чего нужны формулы? ( Для упрощения выражений)

Задание: Сформулируйте эти две формулы, а затем прочитайте по учебнику на стр. 152 – 153.

Приступаем к работе компактным методом.

Первый шаг. Ученики выполняют упражнение: «Разделить правило чёрточками на отдельные указания».

Квадрат суммы двух выражений ║ равен квадрату первого выражения ║ плюс удвоенное произведение первого и второго выражений ║ плюс квадрат второго выражения.

Расстановку чёрточек сверяют

Второй шаг. Учитель даёт образец выполнения упражнения с помощью подготовленного к работе правила.

Третий шаг. В соответствии с образцом, указанным учителем, вызванный ученик читает правила по учебнику и, останавливаясь после каждой чёрточки, выполняет соответствующую часть упражнения:

«Квадрат суммы двух выражений (убеждается, что дан именно квадрат суммы
(х2 + 2хy)2, а не что-либо другое) равен квадрату первого выражения (записывает: (х2)2) плюс удвоенное произведение первого и второго выражений (выполняет это указание: 2 (х2) (2 хy)) плюс квадрат второго выражения (записывает: (2 хy)2 и упрощает полученное выражение х4 + 4 х3y + 4 х2y2)

Остальные следят за работой отвечающего на доске:

а) (х2 + 2хy)2
б) (8х + 3)2
в) (10х – 7 y)2
г) ( 1/2а + 6с)2

III Закрепление нового материала
Групповая работа.
Каждая группа работает самостоятельно, получив тестовое задание.

1) Выбрать правильный ответ.

Задания
А Б В
1) (с + 11)2
c2 + 11c +121 c2 - 22c + 121 c2 +22c + 121
2) (7y + 6)2
49y2 + 42y + 36 49y2 + 84y + 36 49y2 – 84y +36
3) (9 – 8y)2
81 – 144y + 64y2 81 – 72y + 64y2 81 + 144y + 64y2
4) (2x – 3y)2
4x2 -12xy + 9y2 81 – 72y + 64y2 4x2 – 6xy + 9y2

Результаты работы с тестами учащиеся записывают на доске.

1 2 3 4
В
Б
А
А

2) Игра «Кубик – экзаменатор».

На каждой грани, записан квадрат суммы или разности двух выражений. Вызванный по желанию ученик, подбрасывает кубик и комментирует выпавшую ему на верхней грани часть формулы, называет многочлен, в который можно преобразовать данный квадрат двучлена.

(4zy – 3р)2

(b – 3)2

(g + 5c)2

(4c2- 5t)2

(1/2x + 1)2

(7c + 5p)2

IV. Итог урока
(Формулы выводятся с помощью проектора на экран).
Повторить формулы квадрата суммы и разности двух выражений.
Выяснить с учащимися, почему эти формулы называются формулами сокращённого умножения.
-Объясните, как выводится формула (а + b)2.
-Является ли формула квадрата суммы тождеством.