Паспорт кривой второг порядка- эллипс.

Ученики: класса.
Учитель: Логинова Н.А.

2008г. с. Бояркино.

Эллипс.

Год рождения: 350 год до н.э.
Родители: Конус и плоскость
Национальность: грек.
Слово произошло от … недостатка, изъяна («эллейпсис» по-гречески) – это деформированный круг, утративший свойственное кругу совершенство формы.

Это должен знать каждый!

- Родители эллипса, конус и плоскость, были вполне порядочными фигурами. Они были знакомы с греческим ученым Менком еще в 350 году до н.э. Дальше его изучали Эйлер, Паскаль, Декарт. Это они уточнили, как эллипс получился. Его можно получить, если конус пере¬сечь плоскостью.
- А если точно, эллипс есть множество точек, сумма рас¬стояния которых до двух данных точек называется фокусами. Это есть величина постоянная, рав¬ная величине его большой оси.
- Если вы пожелаете, наклоните стакан с водой и увидите, что эллипс получается весьма и весьма часто.
- У вас есть машина? Так вот, если бы не было эллипса, то у вас и машины бы не было, так как маховики и другие элементы имеют в сечении эллипс. Именно эта форма придает наибольшую стойкость детали.
- Планеты двигаются только по эллиптическим орбитам. А ведь эллиптические орбиты наиболее выгодные.

Несерьёзно о серьёзном эллипсе.
1. Получение эллипса как тени от настольной лампы.
Рассмотрим подробнее тень от карманного фонарика на стене. Световое пятно от вертикально расположенного фонарика будет кругом. Немного повернем его, и пятно будет иметь форму овала, который получил название – эллипс.
2. Посмотрим еще раз на эту кривую в интересном ракурсе - в театре теней. Форма тени от обруча на плоском экране, освещенного точечным источником света (лампочкой), зависит от взаимного расположе¬ния обруча, экрана и источника света.
Если весь обруч расположен к экрану ближе, чем источник света, то тень будет эллиптической (рис.).

Демонстрации уча¬щимися теней обруча на экран

Эллипс мы встречаем постоянно, потому что всякая окружность кажется нам эллип¬сом при взгляде со стороны. Режем колба¬су — ломтики имеют форму эллипсов, сда¬вили резиновый шланг — он приобрел фор¬му эллипса.

Нарисовать эллипс нетрудно. Здесь нам поможет одно его важное свойство. Во вся¬ком эллипсе, оказывается, существуют две замечательные точки — их называют фоку¬сами. Они замечательны тем, что сумма расстояний от фокусов до точек эл¬липса одна и та же. Ее принято обозначать через 2а, а расстояние между фокусами обозначают через 2с.

Зная это, воткнем в чер¬тежную доску две булавки, привяжем к ним концы нитки, натянем кончиком карандаша нитку и будем двигать карандаш по бумаге (рис.1).

Рис. 1.

Кончик карандаша нарисует нам прекрасный эллипс. Выбирая разные рассто¬яния между фокусами и разную длину ни¬тки, мы будем получать раз¬личные эллип¬сы. Степень их «вытянутости» характеризуется величиной с/а. Эта величина называется экс¬центриситетом. Она равна нулю для окружности, которая является частным случаем эллипса (при с = 0) и, очевидно, всегда меньше единицы.
Фокусы эллипса (тт. F и F на рис 1) име¬ют еще одно замечательное свойство: луч, выходящий из одного фокуса, после отра¬жения от кривой попадает во второй фокус. Это свойство лежит в основе любопытного акустического эффекта, наблюдаемого в не¬которых пещерах и зданиях — речь чело¬века, стоящего в некоторой точке, отлично слышна в другой, существенно удаленной от нее точке. В таких случаях стены или по¬толки помещений имеют форму эллипсов.

Если на двух одинаковых эллипсах на¬нести зубчики, то получится две шестеренки. Насадим их на оси, отстоящие на расстояние 2а, так, чтобы эти оси проходили через фо¬кусы эллипсов, тогда эти шестеренки будут все время в зацеплении, но при равномерном вращении одной оси другая будет вращаться то быстрее, то медленнее, что часто бывает необходимо в разных машинах и аппаратах.

И. Ньютон (1642-1727 гг.). «Я не измышляю гипотез». «ЕСЛИ Я увидел несколько дальше других, то только по¬тому, что стоял на плечах ги¬гантов».

Это верно. Среди самых ве¬ликих из этих гигантов были Декарт, Кеплер и Галилей. От Декарта Ньютон получил аналитическую геометрию; от Кеплера - три основных закона движения планет; от Галилея - два закона движе¬ния тел.

Планеты Солнечной системы движутся по эллипсам. Орбита, наиболее близкая к ок¬ружности, у Венеры, ее эксцентриситет ра¬вен 0,0068, следующий по величине эксцен¬триситет у Нептуна (0,0086), затем у Земли (0,0167). Самый большой — у Плутона (0,253), однако он не идет ни в какое срав¬нение с эксцентриситетом комет, которые движутся по очень вытянутым орбитам. На¬пример, комета Галлея имеет эксцентриситет 0,967.

Во времена Кеплера и Галилея считалось, что пла¬неты обращаются по совершенным кривым - окруж¬ностям. Сам Кеплер так никогда и не понял, почему орбиты небесных тел имеют форму эллипсов. И даже великий Галилей, имея неопровержимые доказатель¬ства, подтверждающие открытие Кеплера, до послед¬них дней не верил в существование орбит, отличных от окружностей. Этот факт опирается на закон все¬мирного тяготения, открытый Исааком НЬЮТОНОМ (1648-1727 гг.). С помощью разработанных им мате¬матических методов Ньютон доказал, что орбиты тел, движущихся около Земли, могут быть любой кривой из семейства конических сечений (рис. 2).

Рис.2.

Траектория тела, вылетающего из точки А, нахо¬дящейся вблизи поверхности Земли, является окруж¬ностью, если скорость v тела в точке А такова, что
G= v2/R, где v2/R – центростремительное ускорение, а g - ускорение свободного падения. Отсюда и Rg = 7,93 км/с (R - радиус Земли). Полученная величи¬на называется первой космической скоростью.
Если 7,93 км/с < v < 11,1 км/с, то траекторией тела является эллипс, причем его фокус, ближайший к точке вылета, находится в центре Земли.
Если скорость тела v = 11,16 км/с, называемая второй космической скоростью, то траекторией явля¬ется парабола.
При скорости, большей 11,16 км/с, траекторией тела станет гипербола. В последних двух случаях тело покинет Землю и уйдет в межпланетное про¬странство.
При движении тела со скоростями, меньшими 7,93 км/с, траектории движущегося тела представля¬ют собой отрезки эллипса (на рис. 2 - пунктир), даль¬ний фокус которого совпадает с центром Земли.
При движении со скоростями, значительно мень¬шими 7,93 км/с, эти отрезки можно считать отрезками парабол.