задания ГИА

Задачи по геометрии с пробных работ 2012 года и пособий, подготовленных разработчиками вариантов ГИА 2012

Задача 1

Прямая параллельная основаниям ВС и АД трапеции проходит через точку пересечения диагоналей и пересекает её боковые стороны АВ и СД соответственно в точках Е и К. Найти ЕК, если ВС=24 см, АД=12 см.

Задача 2

В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Доказать, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма равны.

Задача 3

Доказать,енного треугольника, равны.

Задача 4

Два квадрата имеют общую вершину.

Доказать, что отмеченные отрезки АВ и СЕ равны.

Задача 5

Найти отношение двух сторон треугольника, если медиана, выходящая из общей вершины, образует с этими сторонами углы в 300 и 900

Задача 6

Два равносторонних треугольника имеют общую вершину.

Доказать, что отрезки АВ и СД равны.

Задача 7

В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий его на две трап еции одинаковой площади. Найти его длину, если основания трапеции равны и .

Задача 8

Два равных прямоугольника имеют общую вершину О.

Докажите, что два отмеченных треугольника АОЕ и ОСМ имеют равные площади.

Задача 9

делит АВ, если известно, что ВС:АД=3:5?

Задача 10

В прямоугольном треугольнике катет АС равен 8, катет ВС равнее 15. Найти радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы и касается прямой ВС.

Задача 11

Длина катета АС прямоугольного треугольника АВС равна 8 см. Окружность с диаметром АС пересекает гипотенузу АВ в точке М. Найти площадь треугольника АВС, если известно, что АМ:ВМ=16:9.

Задача 12

На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежит по три вершины ромба. Найти сторону ромба.

Решение. По условию задачи выполняем чертеж.

Применив теорему синусов к треугольнику АВС, вписанному в окружность радиуса 3, получим:

.

Так как диагонали ромба перпендикулярны, то АВО=900-а.

Применив теорему синусов к треугольнику АВД, вписанному в окружность радиуса 4, получим:

.

Из системы уравнений находим: х=4,8.

Ответ: 4, 8.

Задача 13

В трапеции АВСД меньшая диагональ АС перпендикулярна основаниям АД и ВС, сумма острых углов В и Д равна 900. Найдите боковые стороны трапеции, если основания АД=4, ВС9.

Задача 14

В трапеции АВСД меньшая диагональ ВД перпендикулярна основаниям АД и ВС, сумма острых углов А и С равна 900. Найдите длину большей диагонали трапеции, если основание АД=2, ДС=5.

Задача 15

В трапеции АВСД меньшая диагональ ВД перпендикулярна основаниям АД=3 и ВС=12. Найдите сумму тупых углов В и Д трапеции.

Задача 16

Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведённую из вершины В, в отношении 5:4, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины С, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины С?

Задача 17

Биссектриса угла А треугольника АВС делит высоту треугольника, проведенную из вершины В на части, отношение которых 13:12, считая от вершины В. Найти сторону ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника равен 26.

Задача 18

В трапеции АВСД основание АД в 5 раз больше основания ВС. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Средняя линия трапеции пересекает диагонали в точках М и N. Найдите отношение площади треугольника MON к площади трапеции.

Задача 19

В прямоугольном треугольнике катет АС=5, катете ВС=15. Найти радиус окружности, которая проходит через концы гипотенузы и касается ВС.

Задача 20