Преобразование тригонометрических выражений Функция Угол Функция Угол
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Основные тригонометрические формулы
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:
Sin2a+cos2a=1. (1)
(2)
(3)
tga.ctga=1. (4)
. (5)
. (6)
Формулы сложения:
Sin(a+b)=sinacosb+ cosasinb. (7)
Sin(a-b)=sinacosb- cosasinb. (8)
Cos(a+b)=cosacosb- sinasinb. (9)
Cos(a-b)=cosacosb+ sinasinb. (10)
. (11)
. (12)
Формулы кратных аргументов:
Sin2a=2sina.cosa. (13)
Cos2a= cos2a- sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a. (14)
. (15)
Sin3a=3sina- 3sin3a. (16)
Cos3a=4cos3a-3cosa. (17)
Формулы преобразования сумм или разностей в произведения:
. (18)
. (19)
. (20)
. (21)
(22)
(23)
Преобразование произведений в суммы или разности:
(24)
(25)
(26)
Формулы понижения степени:
. (27)
. (28)
. (29)
. (30)
Формулы половинного аргумента:
. (31)
. (32)
. (33)
В этих формулах знак «+» или «-« выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол .
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:
. (34)
. (35)
. (36)
Формулыприведения:
Sin(-a)=-sina;
sin(p+a)=-sina; sin(p-a)=sina;
cos(-a)=cosa;
cos(p-a)=-cosa; cos(p+a)=-cosa;
tg(-a)=-tga;
ctg(-a)=-ctga;
Значения тригонометрических функций основных углов:
Функция Угол
0о
30о
45о
60о
90о
0
p¤6
p¤4
p¤3
p¤2
sin
0
1
cos
1
0
tg
0
1
-
ctg
-
1
0
Обратные тригонометрические функции
О п р е д е л е н и е 1. a=arcsina, если:
1) sin a=a; 2) aÎ[-90o;90o].
Например, arcsin0=0o, arcsin1=90o, arcsin(-1)=-90o, arcsin=30o, arcsin=-30o.
О п р е д е л е н и е 2. a=arccosa, если:
1) cos a=a; 2) aÎ[0o;180o].
Например, arccos0=90o, arccos1=0o, arccos(-1)=180o, arccos=60o, arccos=120o.
О п р е д е л е н и е 3. a=arctga, если:
1) tg a=a; 2) aÎ(-90o;90o).
Например, arctg0=0o, arctg1=45o, arctg(-1)=-45o.
Радианная и градусная меры углов
Если величина угла выражена в градусах, то для вычисления ее в радианах следует пользоваться формулой
a радиан = .
Отсюда можно получить формулу:
Градусную меру угла a= вычисляют так:
.
Для быстрого решения простых задач целесообразно запомнить, что , , , , , , p=180о, 2p=360о.
Период тригонометрических функций
Напомним, что периодом функции y=sinx и y=cosx является число Т=2p. Периодом функции y=tgx является число Т=p.
Известно, что периоды функций y=Asin(wx+j) и y=Acos(wx+j) вычисляются по формуле Т=, а период функции y=Atg(wx+j) по формуле Т=.
Если период функции y=f(x) равен Т1, а период функции y=g(x) равен
Т2 , то период фукций y=f(x)+g(x) и y=f(x)-g(x) равен наименьшему числу, при делении которого на Т1 и Т2 получаются целые числа.
Пример 1. Вычислить cos840o.
Решение. cos840o=сos(2.360o+120o)=cos120o=cos(180o-60o). Применяя формулу приведения, легко получить cos(180o-60o)=- cos60o=-0,5.
Ответ: -0,5.
Пример 2. Вычислить tga, если и < a< .
Решение. Воспользуемся определением тангенса
Для вычисления cosaвоспоьзуемся формулой (1) sin2a+cos2a=1:
cos2a=1-sin2a=1-
Отсюда cosa= или cosa=. Так как aÎ, то cosa=.
Теперь вычисляем tga:
Ответ: 0,75.
Пример 3. Вычислить arccos
Решение. )=0,5. Отсюда arccos
Ответ:
Пример 4. Упростить
Решение. В числителе раскроем скобки:
=
Применяя в числителе формулы (1) и (13), а в знаменателе формулу (14), получим
Ответ: 1.
Пример 5. Упростить .
Решение. Заметим, что 65о=90о-25о, тогда
=.
Применяя формулу приведения, получим
=.
Применяя формулу (13), имеем
=.
Используя формулу приведения, получим окончательный ответ
Ответ: 2.
Пример 6. Вычислить
Решение. Применяя формулы (28) и (24), получим
Ответ 1.
Пример 7. Вычислить cos15о-sin15o.
Решение.Обозначим cos15о-sin15o=а. Тогда а2 =( cos15о-sin15o)2=
= cos215о-2 cos15osin15o+sin215o. Применяя формулы (1) и (13), получим
cos215о-2 cos15osin15o+sin215o=1-0,5=0,5,т.е. а2=0,5.
Отсюда или
Из условия ясно, что а>0.
Ответ: .
Пример 8. Вычислить:
Решение: Применяя формулы (13) и (14) получим
Применяя еще раз формулу (13), имеем
.
Ответ 0,25
Пример 9. Вычислить
;
.
Итак, исходное выражение принимает вид
Ответ 2.
Пример 10. Вычислить tga, если
Решение. Если назвать угол 2a аргументом, то угол a следует назвать половинным аргументом. Воспользовавшись формулой (35),
вместо исходного уравнения будем иметь
Отсюда , т.е. или
С учетом того что имеем
Ответ 1,5.
Пример 11. Вычислить , если
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на cosa(это можно сделать, так как cosa¹0):
Ответ:
Пример 12. Вычислить sina, если
Решение. Возведем в квадрат равенство, данное в условии:
или
Воспользовавшись формулами (1) и (13), получим 1-sina=1,96.
Отсюда sina= - 0,96.
Ответ: -0,96.
Пример 13. Вычислить tgb, если tga=1 и tg(a-b)= - 2.
Решение. Воспользовавшись формулой (12)
Второе из равенств, данных в условии, можно переписать в виде или
Отсюда tgb= -3.
Ответ: -3.
Пример 14. Вычислить
Решение.
Применяя формулу (13), а затем формулу приведения, окончательно получим
Ответ 0,25.
Пример 15. Упростить
Решение. Применяя формулу разности квадратов, получим
Применяя формулу (14) для первой скобки и формулу (1) – для второй скобки, имеем
Ответ: -1.
Пример 16. Упростить cosg+sin(g+30o)sin(g-30o).
Решение. Применяя формулу, получим
Ответ 0,5.
Пример 17. Упростить
Решение. Применяя формулу, согласно которой
получим
Ответ: 1.
Пример 18. Упростить
Решение. Упростим вначале первую дробь. Применяя в числителе формулу (14), а в знаменателе - (13), получим
.
Используя формулу (1), последнее выражение можно переписать в виде
Применяя формулы сокращенного умножения, получим
Упростим теперь вторую дробь. Применяя формулу (2), получим
Итак, исходное выражение можно переписать в виде
Ответ 0.
Пример 19. Упростить .
Решение. Применяя формулы 16 и 17, получим
=
=
=
=
Применяя формулы 13 и 14, окончательно имеем
=
Ответ. 0,75.
Пример 20. Упростить
Решение. Применяя формулы 9 и 10, получим
=
=
.
Произведя почленное деление в первой дроби, получим
.
Применяя формулу (3), окончательно имеем
Ответ: 1.
Пример 21. Найти период функции y=cosxcos6x.
Решение. Воспользовавшись формулой (25), получим
y=cosxcos6x=
Период функции y=cos5xравен Т1= Период функции y=cos7xравен Т2=
Наименьшее число, при делении которого на Т1= и Т2= получаются целые числа, есть число 2p. Следовательно, период заданной функции равен Т=2p.
Ответ. 2p.
Пример 22. Найти период функции y=3sin(x-2)+7cospx.
Решение. Период функции y=3sin(x-2) равен Т1= Период функции y=7cospxравен Т2=
Периода у функции y=3sin(x-2)+7cospxне существует, так как такого числа, при делении которого на 2pи на 2 получались бы целые числа, нет.
Ответ. Не существует.
Примеры для самостоятельного решения.
1. Упростить . Ответ: 5.
2. Упростить . Ответ: 2.
Вычислить значения тригонометрических выражений
3. , если tga=3. Ответ: .
4. tg2a+ctg2a, если tga+ctga=2. Ответ: 2.
5. , если sinxcosx=0,4 и х. Ответ: 3.
6. sin4a+cos2a+ sin2acos2a. Ответ: 1.
7. cos22a+ 4sin2acos2a. Ответ: 1.
8.. Ответ: 1.
9. . Ответ: 2.
9. . Ответ: 0.
10. . Ответ: 4.
11. 4sin(30o+a)cosa-2cos(60o-2a). Ответ: 1.
12. cos2a+ cos2b-cos(a+ b)cos(a- b). Ответ: 1.
13. tgatgb+( tga+tgb)ctg (a+b). Ответ: 1.
14. cos2a-2cosacosbcos(a+b)+cos2(a+b)-sin2b. Ответ: 0.
15. 3(sin4a+cos4a)-2(sin6a+cos6a). Ответ: 1.
16. ctg70o+4cos70o. Ответ:
Решение.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
16. ctg70o+4cos70o=
=
=
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Основные тригонометрические формулы
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:
Sin2a+cos2a=1. (1)
(2)
(3)
tga.ctga=1. (4)
. (5)
. (6)
Формулы сложения:
Sin(a+b)=sinacosb+ cosasinb. (7)
Sin(a-b)=sinacosb- cosasinb. (8)
Cos(a+b)=cosacosb- sinasinb. (9)
Cos(a-b)=cosacosb+ sinasinb. (10)
. (11)
. (12)
Формулы кратных аргументов:
Sin2a=2sina.cosa. (13)
Cos2a= cos2a- sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a. (14)
. (15)
Sin3a=3sina- 3sin3a. (16)
Cos3a=4cos3a-3cosa. (17)
Формулы преобразования сумм или разностей в произведения:
. (18)
. (19)
. (20)
. (21)
(22)
(23)
Преобразование произведений в суммы или разности:
(24)
(25)
(26)
Формулы понижения степени:
. (27)
. (28)
. (29)
. (30)
Формулы половинного аргумента:
. (31)
. (32)
. (33)
В этих формулах знак «+» или «-« выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол .
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:
. (34)
. (35)
. (36)
Формулыприведения:
Sin(-a)=-sina;
sin(p+a)=-sina; sin(p-a)=sina;
cos(-a)=cosa;
cos(p-a)=-cosa; cos(p+a)=-cosa;
tg(-a)=-tga;
ctg(-a)=-ctga;
Значения тригонометрических функций основных углов:
Функция Угол
0о
30о
45о
60о
90о
0
p¤6
p¤4
p¤3
p¤2
sin
0
1
cos
1
0
tg
0
1
-
ctg
-
1
0
Обратные тригонометрические функции
О п р е д е л е н и е 1. a=arcsina, если:
1) sin a=a; 2) aÎ[-90o;90o].
Например, arcsin0=0o, arcsin1=90o, arcsin(-1)=-90o, arcsin=30o, arcsin=-30o.
О п р е д е л е н и е 2. a=arccosa, если:
1) cos a=a; 2) aÎ[0o;180o].
Например, arccos0=90o, arccos1=0o, arccos(-1)=180o, arccos=60o, arccos=120o.
О п р е д е л е н и е 3. a=arctga, если:
1) tg a=a; 2) aÎ(-90o;90o).
Например, arctg0=0o, arctg1=45o, arctg(-1)=-45o.
Радианная и градусная меры углов
Если величина угла выражена в градусах, то для вычисления ее в радианах следует пользоваться формулой
a радиан = .
Отсюда можно получить формулу:
Градусную меру угла a= вычисляют так:
.
Для быстрого решения простых задач целесообразно запомнить, что , , , , , , p=180о, 2p=360о.
Период тригонометрических функций
Напомним, что периодом функции y=sinx и y=cosx является число Т=2p. Периодом функции y=tgx является число Т=p.
Известно, что периоды функций y=Asin(wx+j) и y=Acos(wx+j) вычисляются по формуле Т=, а период функции y=Atg(wx+j) по формуле Т=.
Если период функции y=f(x) равен Т1, а период функции y=g(x) равен
Т2 , то период фукций y=f(x)+g(x) и y=f(x)-g(x) равен наименьшему числу, при делении которого на Т1 и Т2 получаются целые числа.
Пример 1. Вычислить cos840o.
Решение. cos840o=сos(2.360o+120o)=cos120o=cos(180o-60o). Применяя формулу приведения, легко получить cos(180o-60o)=- cos60o=-0,5.
Ответ: -0,5.
Пример 2. Вычислить tga, если и < a< .
Решение. Воспользуемся определением тангенса
Для вычисления cosaвоспоьзуемся формулой (1) sin2a+cos2a=1:
cos2a=1-sin2a=1-
Отсюда cosa= или cosa=. Так как aÎ, то cosa=.
Теперь вычисляем tga:
Ответ: 0,75.
Пример 3. Вычислить arccos
Решение. )=0,5. Отсюда arccos
Ответ:
Пример 4. Упростить
Решение. В числителе раскроем скобки:
=
Применяя в числителе формулы (1) и (13), а в знаменателе формулу (14), получим
Ответ: 1.
Пример 5. Упростить .
Решение. Заметим, что 65о=90о-25о, тогда
=.
Применяя формулу приведения, получим
=.
Применяя формулу (13), имеем
=.
Используя формулу приведения, получим окончательный ответ
Ответ: 2.
Пример 6. Вычислить
Решение. Применяя формулы (28) и (24), получим
Ответ 1.
Пример 7. Вычислить cos15о-sin15o.
Решение.Обозначим cos15о-sin15o=а. Тогда а2 =( cos15о-sin15o)2=
= cos215о-2 cos15osin15o+sin215o. Применяя формулы (1) и (13), получим
cos215о-2 cos15osin15o+sin215o=1-0,5=0,5,т.е. а2=0,5.
Отсюда или
Из условия ясно, что а>0.
Ответ: .
Пример 8. Вычислить:
Решение: Применяя формулы (13) и (14) получим
Применяя еще раз формулу (13), имеем
.
Ответ 0,25
Пример 9. Вычислить
;
.
Итак, исходное выражение принимает вид
Ответ 2.
Пример 10. Вычислить tga, если
Решение. Если назвать угол 2a аргументом, то угол a следует назвать половинным аргументом. Воспользовавшись формулой (35),
вместо исходного уравнения будем иметь
Отсюда , т.е. или
С учетом того что имеем
Ответ 1,5.
Пример 11. Вычислить , если
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на cosa(это можно сделать, так как cosa¹0):
Ответ:
Пример 12. Вычислить sina, если
Решение. Возведем в квадрат равенство, данное в условии:
или
Воспользовавшись формулами (1) и (13), получим 1-sina=1,96.
Отсюда sina= - 0,96.
Ответ: -0,96.
Пример 13. Вычислить tgb, если tga=1 и tg(a-b)= - 2.
Решение. Воспользовавшись формулой (12)
Второе из равенств, данных в условии, можно переписать в виде или
Отсюда tgb= -3.
Ответ: -3.
Пример 14. Вычислить
Решение.
Применяя формулу (13), а затем формулу приведения, окончательно получим
Ответ 0,25.
Пример 15. Упростить
Решение. Применяя формулу разности квадратов, получим
Применяя формулу (14) для первой скобки и формулу (1) – для второй скобки, имеем
Ответ: -1.
Пример 16. Упростить cosg+sin(g+30o)sin(g-30o).
Решение. Применяя формулу, получим
Ответ 0,5.
Пример 17. Упростить
Решение. Применяя формулу, согласно которой
получим
Ответ: 1.
Пример 18. Упростить
Решение. Упростим вначале первую дробь. Применяя в числителе формулу (14), а в знаменателе - (13), получим
.
Используя формулу (1), последнее выражение можно переписать в виде
Применяя формулы сокращенного умножения, получим
Упростим теперь вторую дробь. Применяя формулу (2), получим
Итак, исходное выражение можно переписать в виде
Ответ 0.
Пример 19. Упростить .
Решение. Применяя формулы 16 и 17, получим
=
=
=
=
Применяя формулы 13 и 14, окончательно имеем
=
Ответ. 0,75.
Пример 20. Упростить
Решение. Применяя формулы 9 и 10, получим
=
=
.
Произведя почленное деление в первой дроби, получим
.
Применяя формулу (3), окончательно имеем
Ответ: 1.
Пример 21. Найти период функции y=cosxcos6x.
Решение. Воспользовавшись формулой (25), получим
y=cosxcos6x=
Период функции y=cos5xравен Т1= Период функции y=cos7xравен Т2=
Наименьшее число, при делении которого на Т1= и Т2= получаются целые числа, есть число 2p. Следовательно, период заданной функции равен Т=2p.
Ответ. 2p.
Пример 22. Найти период функции y=3sin(x-2)+7cospx.
Решение. Период функции y=3sin(x-2) равен Т1= Период функции y=7cospxравен Т2=
Периода у функции y=3sin(x-2)+7cospxне существует, так как такого числа, при делении которого на 2pи на 2 получались бы целые числа, нет.
Ответ. Не существует.
Примеры для самостоятельного решения.
1. Упростить . Ответ: 5.
2. Упростить . Ответ: 2.
Вычислить значения тригонометрических выражений
3. , если tga=3. Ответ: .
4. tg2a+ctg2a, если tga+ctga=2. Ответ: 2.
5. , если sinxcosx=0,4 и х. Ответ: 3.
6. sin4a+cos2a+ sin2acos2a. Ответ: 1.
7. cos22a+ 4sin2acos2a. Ответ: 1.
8.. Ответ: 1.
9. . Ответ: 2.
9. . Ответ: 0.
10. . Ответ: 4.
11. 4sin(30o+a)cosa-2cos(60o-2a). Ответ: 1.
12. cos2a+ cos2b-cos(a+ b)cos(a- b). Ответ: 1.
13. tgatgb+( tga+tgb)ctg (a+b). Ответ: 1.
14. cos2a-2cosacosbcos(a+b)+cos2(a+b)-sin2b. Ответ: 0.
15. 3(sin4a+cos4a)-2(sin6a+cos6a). Ответ: 1.
16. ctg70o+4cos70o. Ответ:
Решение.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
16. ctg70o+4cos70o=
=
=
Автор: Аверин Николай Петрович