Пособие для подготовки к математическим олимпиадам.

Основными целями проведения олимпиад является не только выявление одаренных, творчески мыслящих учеников, но и углубление знаний по математике, расширение кругозора учащихся. В данной методической разработке автор собрал различные типы задач, которые могут быть использованы как при подготовке к олимпиадам по математике, так и для проведения самих олимпиад. Теория не собрана в отдельный блок, каждая задача сопровождается подробным объяснением с ссылкой на формулы, теоремы. Некоторые задачи решены несколькими способами. Задача 1. Доказать, что 200736 - 1 составное число. Доказательство. Любая степень нечетного числа – нечетное число. Если из нечетного числа вычесть единицу, то получится четное число, а любое четное число, кроме 2, является составным числом. Хотелось бы напомнить, что если натуральное число имеет только два делителя – само себя и 1, то его называют простым числом; если оно имеет более двух делителей, то его называют составным числом. Число 1, имеющее лишь один делитель – 1, не относится ни к простым, ни к составным. Задача 2. Является ли число 36241244 – 3 простым? Решение. Напомним признак делимости на 3. Для того, чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3. 3 + 6 + 2 + 4 + 1 + 2 = 18 3, поэтому и само число 362412 3, и любая его степень делится на 3. Значит, 36241244 – 3 тоже делится на 3, оно составное. Задача 3. Является ли число 296476432 + 55 простым? Решение. Напомним признак делимости на 11. Для того, чтобы натуральное число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «+», если цифры находятся на нечетных местах (начиная с цифр единиц), и взятых со знаком «-», если цифры находятся на четных местах, делилась на 11. Проверим, 2964764 делится ли на 11. 4 – 6 + 7 – 4 + 6 – 9 + 2 = 0, 0 11. Значит, само число тоже делится на 11, любая степень его тоже делится на 11, 55 тоже делится на 11, сумма этих чисел тоже делится на 11, поэтому 296476432 + 55 составное. Задача 4. Доказать, что 111311 + 333533 + 555755 + 777977 является составным числом. Решение. Данное число является суммой четырех нечетных чисел, т.к. при возведении нечетного числа в любую степень получаем нечетное число, а сума четырех нечетных чисел – число четное, а значит, составное. Задача 5. Все натуральные от 1 до 100 возвели в 2008 степень и сложили. Доказать, что полученная сумма составное число. Решение. Нам необходимо найти число А = 12008 +22008 +32008 +…+992008 +1002008. Каждое слагаемое, стоящее на нечетном месте: 12008 ; 32008 ; 52008 ; …; 992008 есть нечетное число, т.к. нечетное число в любой степени нечетное число. Их всего 50, а значит, их сумма четное число. Каждое слагаемое, стоящее на четном месте: 22008 ; 42008 ; 62008 ; …; 1002008 -четное число, их всего 50. Сумма их - четное число. Значит, число А четное, большее 2. Следовательно, оно составное. Задача 6. Доказать, что при натуральном n число 2n2 + 4n – 31 не может быть равно 0. Решение. Решим эту задачу несколькими способами. Способ 1 2n2 + 4n – 31 = 0 D = 4 + 62 = 66 Cпособ 2 2n2 + 4n – 31 = 2n2 + 4n + 2 – 33 = 2(n + 1)2 – 33. Очевидно, чтобы число превращалось в 0, необходимо, чтобы (n + 1)2=16,5. Квадрата натурального числа, равного 16,5, нет. Способ 3 2n2 + 4n – четное число при любом n  N. Задача 7. Простым или составным является число 966306 – 214238? Решение. Заданное число является разностью квадратов, значит, оно составное. Задача 8. Простым или составным является число 529296 – 318959? Решение. Заданное число является разностью кубов, а значит, оно составное. Задача 9. Является ли число 585715 – 39915 простым? Решение. Данное число является разностью двух степеней с одинаковым показателем, а такая разность делится на разность оснований. Напомним, что для n  N an – bn = (a – b)(an-1 + an-2 b + an-3 b2 + ... + abn-2 + bn-1). Пример: а6 – b6 = (a – b)(a5 + a4 b + a3 b2 + a2 b3 + ab4 + b5). a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n - a2n-1 b + a2n-2 b2 + ... + a2b2n-2 - ab2n-1 + b2n) Пример: a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3 b + a2 b2 – ab3 + b4). Задача 10. Все цифры трехзначного числа отличны от 0 и сумма их квадратов равна 45. Если от этого числа отнять 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число. Решение. Число . а2 + b2 + c2 = 45 100a + 10b + c – 198 = 100c + 10b + a 99a – 99c = 198 a – c = 2, a2 – 2ac + c2 = 4, a2 + c2 = 4 + 2a. b2 = 45 – 4 – 2ac = 41 – 2ac = 41 – 2ac(c + 2) 1. c = 1, b2 = 41 – 6 = 35 2. c = 2, b2 = 41 – 16 = 25, b = 5, a = 4. Число 452. 3. c = 3, b2 = 41 – 30 = 11. 4. c = 4, b2 = 41 – 48 < 0. При с > 4 b2 < 0. Остается. Ответ: 452. Задача 11. Решите уравнение в целых числах х2 = у2 + 2у + 8. Решение. х2 = (у+1)2 + 8. Если по условию х  Z, y  Z, то х2  N или х2 = 0. (у+1)2  N или (у+1)2 = 0 х2 - (у+1)2 = 7 1; 4; 9; 16; 25; … Подходит только Ответ: (4; 2), (4; -4). Задача 12. Решить в натуральных числах уравнение 3х4 + 5х3у – 8 = 0. Решение. х3(3х+5у) = 8 При этих условиях х может быть равен только 1 или 2. 1) х = 1 3 ∙ 1 + 5у = 8, 5у = 5, у = 1. 2) х = 2 3 ∙ 2 + 5у = 1, 5у = -5, у = -1  N. Ответ: (1;1). Задача 13. Сократить дробь Решение. b3 – 1 = (b - 1)(b2 + b + 1) b4 + b2 + 1 = b4 + 2b2 + 1 - b2 = (b2 + 1)2 - b2 = (b2 – b + 1) (b2 + b + 1), тогда получим Ответ: Задача 14. Известно, что а + . Вычислите Решение. Ответ: 1. Задача 15. Сын младше отца в 7 раз. Через год он станет младше отца в 6 раз. Через сколько лет сын станет младше отца в 4 раза? Решение. Пусть в настоящее время сыну х лет, тогда отцу – 7х лет. Через год сын будет младше отца в 6 раз, составим уравнение и решим его. 6(х + 1) = 7х + 1, х = 5. Значит, сейчас сыну 5 лет, а отцу – 35 лет. Через у лет сын будет младше отца в 4 раза, т.е. 4(5 + у) = 35 + у, 3у = 15, у = 5. Ответ: через 5 лет. Задача 16. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 4x – 2 – x2. Решение. Решить эту задачу можно тремя способами. Способ 1 Использовать график квадратичной функции 4x – 2 – x2 = -– x2 +4х – 2. А(m;n) – вершина параболы, Ответ: наибольшее значение функции равно 2 при х = 2, наименьшего значения нет. Способ 2 Выделение квадратичного двучлена из квадратичного трехчлена. 4x – 2 – x2 = -– x2 +4х – 2 = -( x2 -4х +4) + 2 = - (х – 2)2 + 2 , (х – 2)2 ≥ 0, - (х – 2)2 ≤ 0, - (х – 2)2 + 2 ≤ 2. Ответ: унаиб = 2. Способ 3 Использование производной. f'(x) = 4 – 2x, f'(x) = 0 при 4 – 2x = 0, х = 2. f'(x) > 0 при х < 2 f'(x) < 0 при х > 2 х = 2 – точка максимума. f(2) = 4  2 – 2 - 22 = 2. Ответ: унаиб = 2. Задача 17. Существует ли функция f, отличная от постоянной, и такая, что f (-x) = 2 – f(x) для любого х  R. Решение. Да, существует. Например, f(x) = x + 1. Задача 18. Решить уравнение х3 = 2 – х. Решение. х = 1, других корней нет. Если левую часть уравнения взять за функцию у = х3, то можно смело утверждать, что она возрастающая. Правая часть уравнения g(x) = 2 – x, линейная функция, убывающая, поэтому уравнение не может иметь больше одного корня. Ответ: х = 1. Задача 19. Решить уравнение 1003х +1005х = 2008. Решение. Т.к. функции у = 1003х и у = 1005х возрастающие, а значит, их сумма – функция возрастающая. Данное уравнение может иметь только один корень, этот корень очевиден: х = 1. Ответ: 1. Задача 20. Решить уравнение 23х-1 + 52х-1 = 129x. Решение. 129x > 0. Разделим все члены уравнения на 129х, получим: . В левой части уравнения функция, состоящая из суммы двух убывающих функций, поэтому данное уравнение будет иметь только одно решение. Будем искать его в более удобном первоначальном уравнении: х = 1. Ответ: 1. Задача 21. Решите уравнение sinx270 + cosx270 = 1. Решение. Один корень данного уравнения очевиден: х = 2, а поскольку и синус и косинус меньше 1, то показательные функции у = sinx270 и у = cosx270 убывают, так что их сумма также убывает, и значит, других корней нет. Ответ: 2. Задача 22. Решите уравнение sin2008x + cos2008x = 1. Решение. sin2008x ≤ sin2x, соs2008x ≤ соs2x, sin2008x + cos2008x ≤ 1. Равенство выполняется, когда Следовательно, решениями данного уравнения являются числа, соответствующие концам горизонтального и вертикального диаметров тригонометрической окружности, т.е. кратные . Ответ: Задача 23. Решите уравнение sin15x – cos17x = 1. Решение. Постараемся свести задачу к предыдущей, заменив в левой части разность с помощью формул приведения. Для этого заменим sin15x на sin15( - х), а cos17x на - cos17( - х) и тогда получим уравнение sin15( - х) + cos17( - х) = 1. Ответ:  + 2k, k Z, Задача 24. Решите уравнение Решение. т.е. левая часть не превосходит 2. С другой стороны, по неравенству между средним арифметическим и среднегеометрическим имеем т.е. Следовательно, левая и правая части равны только в том случае, если они одновременно равны двум. х = 0. Этот корень является корнем уравнения Значит, х = 0 – единственное решение исходного уравнения. Ответ: 0. Задача 25. Теплоход прошел по течению реки из пункта А в пункт В за 3 суток, а против течения, от В до А – за 5 суток. Сколько суток будет плыть плот из пункта А в пункт В ? ( Скорость плота равна скорости течения реки.) Решение. На первый взгляд, задача как будто бы непонятная: неизвестна скорость течения реки, собственная скорость теплохода и расстояние между пунктами А и В. Но не надо бояться как сказал один из героев романа: «Если не знаешь, что делать, делай шаг вперед. Короче говоря, ввяжемся в драку, а там посмотрим». Возьмем за х км/час скорость течения реки (плота), за у км/час собственную скорость теплохода, за S км расстояние от пункта А до пункта В. Тогда имеем систему уравнений Вычтем почленно из первого уравнения второе, получим (суток). Ответ: 15 суток.
Автор: Аверин Николай Петрович