Открытый урок в 11 классе "Решение логарифмических уравнений - поиск ошибок"

Открытый урок в 11классе МАОУ СОШ №2 г. Усть – Лабинска Краснодарского края по теме «Решение логарифмических уравнений – поиск ошибок»

учитель высшей квалификационной категории Ряшина Н.И.

Цель урока: повторение основных приёмов преобразования и методов решения логарифмических уравнений; акцентирование внимания учащихся на возможных ошибках в решении логарифмических уравнений, так как эта тема присутствует на ЕГЭ.

Ход урока.

1.Разминка.

Тестирование. Выполните задание, выберите один из предло-

женных вариантов ответа.

А) Найти область определения функции у =log2(3x+5).

1) (;+), 2)(-), 3)(-;+).

Б) Найти Х: х =log1/327. 1)3. 2) -3. 3) нет решения.

В) Сравнить log0,35 иlog0,36, 1) >. 2)<. 3)=

Г) Сравнить: 3 и .

Д)Сравнить:7log75 и log3243, 1) ) >. 2)<. 3)=

Найди ошибку в доказательстве: (1/2)2) > (1/2)3. Большему числу соответствует больший логарифм, значит, lg(1/2)2) > lg(1/2)3,отсюда 2lg(1/2) > 3lg(1/2) .Сократим на lg(1/2), ПОЛУЧИМ: 2› 3.

2.Труды этого математика были почти единственным руководством по одному из разделов математики в школе. Он самоотверженно любил науку и никогда не допускал неискренности. Однажды царь обратился к нему с вопросом, нет ли более короткого пути для познания этой математической науки, чем изучение его трудов. На это он гордо ответил….

Кто этот математик и что он ответил царю, нам и предстоит сейчас разгадать.

Работаем по карточкам. Каждый ученик выбирает для себя 2 уравнения и решает его. Решив его, находят букву, соответствующую его корням. Расположив буквы на доске в порядке номеров уравнений, вы узнаете, что сказал царю этот великий человек.

Решите уравнения, по корням уравнения найдите соответствующую букву.

1) log3x = log36+log32. 2) log5x = log51,5+ log58.

3) Lg x =2lg3 – lg125. 4) log2x = 2 log2 5- log2 0,5.

5) log1/2(2x- 4) = -3. 6)lg (3x- 8) = lg (x- 2).

7) log0,1(6x- 11)= log0,1(x-2). 8) log0,5 x=2log0,510-log0,52.

9) log2(3-x)=0. 10) log3(5+2x)=1. 11)lgx=lg1,5+2lg2.

12)lg2x+2lgx=8. 13)log4(2x-5)=log4(x+1). 14)log6(3x-76)=log6(x+24).

15)lg(x2-2x-4)=lg11. 16)log7x= 2log73+ log70,2. 17) 5-1+log55.

18)log25x- log5x=2. 19) lg (3x+8)= lg(x+6). 20)log2(4x-5)=log2(x-14).

21)(1/2)1+log0,54. 22)32+log25. 23)log5(2x+3)=log5(x+1).

24) 0,21+log 0,25 , 25) lg(5x+7)=lg(3x-5). 26) log2(x-14)=4.

27) logx(x2-2x+2)=1. 28) 31+log32 .29) logx(x2-12x+12)=1.

30) log7(46-3x)=2. 31) log8 (x2+2x+3)=log86.

32) log3(5x-6)=log3(3x-2). 33) loga x=2loga3+loga5

A

1,8

И

2

О

Нет корней

B

12

К

-1

Р

1

Г

30

Л

-3; 1

С

0,2; 25

Д

45

М

3

Т

50

Е

6

Н

10-4; 102

Ц

-3; 5.

Ответы: 1)12, 2)3. 3)1,8.4)50. 5)6. 7)1,8. 8)50. 9)2. 10) -1. 11)6.

12) 10-4,102. 13) 6. 14) 50. 15) -3; 5. 16) 1,8. 17)1. 18) 0,2; 25. 19)-1.

20) нет корней. 21) 2. 22) 45. 23) нет корней. 24) 1. 25) Нет корней

26) 30. 27) 2. 28) 6. 29) 12. 30)-1. 31)-3;1. 32) 2. 33) 45.

В математике нет царской дороги. Евклид.

2.Исторические сведения о логарифмах.

Слово логарифм происходит от греческого слова и переводится как отношение чисел. Выбор изобретателем (1594г) логарифмов ДЖ. Непером такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое- геометрической. Логарифмы с основанием eввёл Спейдел (1619г), составивший первые таблицы для функции.

В течение 16 века резко возрос объём работы, связанной с проведением приближённых вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей практическое применение. Наибольшие проблемы возникли при выполнении операций умножения и деления. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей. Уже в 1623г были созданы таблицы логарифмов и изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. (Вплоть до появления электронной вычислительной техники). Эти изобретения резко повысили производительность труда вычислителей.

3.Найди ошибки:

1)Учащимся через мультимедийный аппарат предлагаются уравнения с решениями, содержащими ошибки. Необходимо найти эти ошибки, объяснить их и выполнить решение предложен-

ных уравнений правильно ( допускается решение уравнения иным способом).

А) Решить уравнение: log20,5x+5log2x=6.

Решение: log20.5x+ 5log2x = 6,

Log22-1x + 5log2x- 6=0, -log22x +5log2x -6=0, log22x -5log2x+6=0,

Пустьlog2x=t, отсюдаt2-5t+6=0, D=25-24=1, t=2 илиt=3.

Log2x=2 или log2x=3,

X=4, x=8. Ответ: 4; 8.

Б)log3(x2+8x+16)=2.

Решение: log3(x+4)2=2, 2log3(x+4) =2, log3(x+4)=1, x+4=3, x=-1.

Ответ:-1.

В)log3(2x+1)/x=log3(x+1)+log1/3x.

Решение: log3(2x+1)/x=log3(x+1) –log3x,

Log3(2x+1)-log3x=log3(x+1)- log3x, log3(2x+1)=log3(x+1)

2x+1=x+1, x=0, где 2х+1›0, и х+1›0, отсюда х ›-0,5.

Ответ: 0.

Г)logx3(x2-2)=1/3, 1/3log/x/(x2-2)=1/3, log/x/(x2-2)=1, x2-2=/x/,

X2-/x/-2=0, /x/2-/x/-2=0, отсюда /x/=2, или/x/=-1 –посторонний корень, /x/=2, x=±2.

Ответ: ±2.

Д)log5(3x+2)+log5(x+2)=log5(2x+4),

Решение: (3x+2)+(x+2)=(2x+4), где 3x+2>0, x+2>0, 2x+4>0.

3x+2+x+2=2x+4, x>-⅔,

X=0. Ответ: 0.

Объяснение ошибок.

А) Неверно преобразовано выражение log20,5x.

Log20,5 x=(log0,5x)2=(-log2x)2=log22x, отсюда

Log22x+5log2x-6=0, x>0,

Log2x=-6 илиlog2x=1,

X=2-6, x=2,

X=1/64. Ответ:1/64, 2.

Б) При преобразовании выражения log3(x+4)2 пропущен знак модуля.

Решение: log3(x2+8x+16)=2,

Log3(x+4)2=2, 2log 3/x+4/ =2, Log3/x+4/=1,

/x+4/=3, x+4=3 или х+4=-3, х=-1, или х=-7

Ответ:-1, -7.

в) Не выполнена проверка, не указана ОДЗ.

Решение:

log3((2x+1)/x= log3(x+1)+ log⅓x,

log3(2x+1)/x=log3(x+1)- log3x, log3(2x+1)/x=log3(x+1)/x,

(2x+1)/x=(x+1)/x, где х>0,

2x+1=x+1, x=0. Ответ: нет корней.

Г) При преобразовании основания логарифма был поставлен

знак модуля (хотя показатель степени нечётный).

Решение: logx3(x2-2)=⅓

⅓ logx(x2-2)=⅓,

Logx(x2-2)=1,

X2- 2=x,где x>0, x≠1, x2-x-2=0, x1=-1, x2=2,

Ответ: 2.

Д) В применении свойства логарифма произведения.

Решение: log5(3x+2)+log5(x+2)=log5(2x+4),

Log5(3x2+8x+4)=log5(2x+4), где 3х+2>0, x+2>0.

3x2+8x+4=2x+4, x>-2/3,

3x2+6x=0, x=0или х=-2

Ответ: 0.

Рефлексия.

1. Больше всего мне понравилось….

2. Я научился ( научилась)…

3. Наибольшие затруднения у меня вызвало….

4. На уроке я узнал (а)…

5. Меня удивило…

Подведение итога урока. Выставление оценок.

Домашнее задание: Решить уравнения

1) log2√2x +log0,5x=3. 2) log 2 x2+log(2-x)=log2(4-4x).

3) log 2 (x2+10x+25)=2. 4) log Х23=0,5.

5) +=