олимпиады по математике

Задания

Школьного тура олимпиады по математике

в 5 классе.

1.В квадрат со стороной, равной трем тетрадным клеткам, бросили 10 точек. Докажите, что хотя бы в одной из клеток находится 2 точки.

2. Винни - Пуху подарили в день рождения бочонок с медом массой 7 кг. Когда Винни - Пух съел половину меда, то бочонок с оставшимся медом стал иметь массу 4 кг. Сколько килограммов меда было первоначально в бочонке?

3. Кондратьев, Давыдов и Федоров живут на одной улице. Один из них работает плотником, другой- маляром, третий- водопроводчиком.

Однажды маляр пришел к плотнику, что бы попросить его починить дверь в своей квартире, но ему сказали, что плотник помогает Федорову ремонтировать пол. Определите профессию каждого, если известно, что водопроводчик никогда не видел Давыдова.

4. Расшифруйте следующую запись примера на сложение, в котором разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым буквам- одинаковые:

СПОРТ

+СПОРТ

----------------

КРОСС

5.Найти значение выражения:

2011- 2010+ 2009- 2008+ 2007- …- 2+ 1.

Задания

Школьной олимпиады по математике

В 10 классе.

1. Найти все трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

2.Перед Бабой-Ягой и Кащеем Бессмертным лежат две кучи мухоморов- в одной 200 штук, а в другой 13 штук. Эти персонажи по очереди берут грибы из куч, за один раз можно взять любое ненулевое число грибов из одной из куч. Пропускать ход нельзя. Выигрывает тот, после хода которого грибов не останется. Первой ходит Баба-Яга. Кто из игроков выиграет при правильной игре?

3.Трава на всем лугу растет одинаково быстро и густо. Известно, что 70 коров съели бы ее за 24 дня, а 30 коров- за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву за 96 дней?

4.Определите а так, чтобы сумма квадратов корней уравнения х*х+ (2- а)* х- а- 3 = 0 была наименьшей.

5.Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д. Чему равен 2009-й член этой последовательности?

Решения заданий . 5 класс.

1.Всего в данном квадрате содержится 9 клеток. Даже если распределить 10 точек равномерно, то в одной из клеток будет 2 точки.

2.Съеденная половина меда равна 7-4=3 (кг) Значит, весь мед в бочонке имеет массу 3*2=6

3.Кондратьев- плотник, Давыдов- маляр, Федоров- водопроводчик.

4. 43972

+ 43972

------------

87944

5. 2011- 2010+ 2009- 2008+ 2007- …- 2+ 1= (2011- 2010)+ (2009- 2008)+ (2007- 2006)+…+ (3-2) +1 =1005+ 1= 1006.

Решение заданий 10-го класса.

1.Имеем уравнение: 100а + 10в + с = 12(а + в + с)

11(8а -с) = 2в, где а, в, с - цифры. Поэтому а = 1, в = 0,

С = 8. Искомое число 108.

2. Победит Баба-Яга с помощью следующей стратегии. Первым ходом она берет из первой кучки 187 грибов, а затем каждым своим ходом она уравнивает число грибов в кучках, имеющееся к ее ходу. Таким образом, выиграет Баба-Яга.

3. Обозначим всю траву на лугу за 1, прирост травы в 1 день за а. Тогда через 24 дня на лугу будет 1+24а травы, через 60 дней 1+60а, через 96 дней 1+96а. Так 70 коров съели всю траву за 24 дня, а 30 коров за 60 дней, то количество съеденной травы 1 коровой за 1 день найдем как (1+24а): (24*70) или (1+60а) : (30*60). Из уравнения (1+24а) : (24*70)=(1+60а) : (30*60) найдем а =1/480, тогда через 96 дней на лугу будет 1+96а =1,2 травы. За 1 день корова съедает 1/1600 травы, а за 96 дней 0,06. Тогда 1,2 травы съедят 1,2/0,06 = 20 (коров).

4. Используем теорему Виета:

Пусть х- 1 корень, а у- 2 корень.

х*х+ у*у =(х + у)(х +у)-2ху =(а-2)(а-2)-2(-а-3) = (а-1)(а-1)+ 9 наименьшее значение будит при а = 1.

5. 2009-й член последовательности равен наименьшему натуральному числу п, для которого 1+2+…+п = п(п+1)/2 больше или равно 2009. Последний член последовательности равен 63.