Разрезания

Разрезания

Исходная задача. Сколькими способами можно вырезать из квадрата 9´9 квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3? (Способы вырезания, получаемые друг из друга симметрией или поворотом, будем считать различными.)

Общая постановка задачи.

1. Для каких натуральных чисел п из квадрата п´п можно вырезать квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3?

2. Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т´п можно вырезать квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3?

3. Рассмотрите обобщения этой задачи в следующих двух направлениях:

а) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т´п можно вырезать квадрат р´р (р – заданное натуральное число) так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3?

б) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т´п можно вырезать квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники s´t, где s и t – заданные натуральные числа? (Рассмотрите хотя бы некоторые случаи значений s и t.)

4. Аналогично исходной задаче во всех пунктах 1 – 3 попробуйте указать или хотя бы оценить количество способов соответствующих вырезаний.

5. Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.