ПРИМЕР 3.

 

 

 

В какой точке графика функции y=x2+1 надо провести касательную, чтобы она отсекала от фигуры, образованной графиком этой функции и прямыми y=0, x=0, x=1 трапецию наибольшей площади

 

 

 

Решение

 

Пусть M0(x0,y0) – точка графика функции y=x2+1, в которой проведена искомая касательная.

 

1)                Найдем уравнение касательной y=y0+f¢(x0)(x–x0).

 

Имеем:  

 

 

 

Поэтому                                              Û                                        .

 

2)                Найдем площадь трапеции ОАВС.

 

Далее, А – точка пересечения касательной с осью Oy, поэтому

 

 

B – точка пересечения касательной с прямой x=1 Þ

 

 .

 

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции

 

S(x)=–x2+x+1 на отрезке [0;1].

Найдем S¢(x)=–2x+1. Найдем критическую точку из условия S¢(x)=0 Û x=1/2.

Найдем

Видим, что функция достигает наибольшего значения при x=1/2

Найдем

 

 

Ответ: касательную надо провести в точке   .

Стрелка вправо: Вернуться назад

Стрелка вправо: Вернуться назад