Определенный интеграл и его свойства.

Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную непрерывной неотрицательной функцией y=f(x) на отрезке [a, b].

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле , где

- определенный интеграл непрерывной функции y=f(x)  по отрезку [a, b].  Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно верхним и нижним),  f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение (дифференциал функции f(x)).

 

Для вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:  если функция y=f(x) непрерывна на отрезке  [a, b] и y=F(x) - ее первообразная, то верно равенство

На практике  используют запись 

Пример. Вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке.         

 

Фигура ограничена графиком функции y=x2 и осью абсцисс. Пределы интегрирования x=0 и x=2.

  Тогда искомая площадь      

По формуле Ньютона-Лейбница  .

Значит, площадь фигуры S=8/3.

Ответ: 8/3.

 

Физический смысл определенного интеграла.

Перемещение s материальной точки, движущейся прямолинейно со скоростью v=v(t), за интервал времени от t=a  до t=b вычисляется по формуле .