Определенный интеграл и его свойства.
Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную непрерывной неотрицательной функцией y=f(x) на отрезке [a, b].
Площадь
криволинейной трапеции вычисляется по формуле
, где
-
определенный интеграл непрерывной функции y=f(x)
по отрезку [a, b]. Числа
a и b называют пределами
интегрирования (соответственно верхним и нижним),
f(x) -
подынтегральная функция, f(x)dx –
подынтегральное выражение (дифференциал функции
f(x)).
Для
вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:
если функция y=f(x) непрерывна на отрезке
[a, b] и y=F(x) - ее
первообразная, то верно равенство
На
практике используют запись
.
Пример. Вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке.
Фигура ограничена графиком функции y=x2 и осью абсцисс. Пределы интегрирования x=0 и x=2.
Тогда искомая площадь
По формуле Ньютона-Лейбница
Значит, площадь фигуры S=8/3. Ответ: 8/3.
|
![]() |
Физический смысл определенного интеграла.
Перемещение s материальной
точки, движущейся прямолинейно со скоростью v=v(t),
за интервал времени от t=a до
t=b вычисляется по формуле
.