ПРИМЕР 3.
В какой точке графика функции y=x2+1 надо провести касательную, чтобы она отсекала от фигуры, образованной графиком этой функции и прямыми y=0, x=0, x=1 трапецию наибольшей площади
Решение
Пусть M0(x0,y0) – точка графика функции y=x2+1, в которой проведена искомая касательная.
1) Найдем уравнение касательной y=y0+f¢(x0)(x–x0).
Имеем:
Поэтому Û
.
2) Найдем площадь трапеции ОАВС.
Далее, А – точка пересечения касательной с осью Oy, поэтому
B – точка пересечения касательной с прямой x=1 Þ
.
Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции
S(x)=–x2+x+1 на отрезке [0;1].
Найдем S¢(x)=–2x+1. Найдем критическую точку из условия S¢(x)=0 Û x=1/2.
Найдем
Видим, что функция достигает наибольшего значения при x=1/2
Найдем
Ответ: касательную надо
провести в точке
.