В настоящее время появилась проблема мотивации учащихся в изучении предметов. Особенно остро она проявляется на уроках естественно-научного цикла. По глубокому убеждению автора, опираясь на опыт великих педагогов и свой личный опыт преподавания математики этот вопрос можно разрешить, если проводить уроки в более живой, доступной и интересной форме. Можно перечислить различные формы и методы, такие как игровые уроки, исторические, прикладные, уроки с ярко выраженными межпредметными связями и другие. Настоящая работа посвящена исторической форме работы с учениками на уроках алгебры. По каждой теме предлагается проводить краткую беседу попутно с изучением программного материала. В среднем на каждые 5-6 уроков приходиться одна беседа. Условный термин «беседа» следует понимать как сообщение некоторого факта из истории математики, который может быть преподнесен ученикам в виде рассказа учителя, рассмотрения и объяснения рисунка, краткого замечания, разбора задачи, сопровождаемого исторической справкой. Знакомство учеников с фрагментами истории алгебры в связи с изучением основ предмета на уроках имеет вполне определенные цели, а именно: сведения из истории повышают интерес школьников к изучению математики и углубляют понимание ими изучаемого раздела программы. Ознакомление с историческими фактами расширяет умственный кругозор учеников и повышает их общую культуру, позволяет лучше понять роль математики в современном обществе. Знакомство с историческим развитием математики способствует общим целям воспитания подрастающего поколения. На первый взгляд кажется трудным найти на уроке время, необходимое для ознакомления с историческим материалом. Однако вопрос о формах использования элементов истории математики на уроках почти полностью подчинен главному вопросу – связи с изучаемой в школе алгебры с историей. Какая бы не была форма сообщения исторических фактов – краткая беседа, экскурс, лаконичная справка, решение задачи, показ и разъяснение рисунка, - использованное время (5-15 мин) нельзя считать потерянным напрасно, если учитель сумел преподнести исторический факт в тесной связи с изучаемым на уроке тематическим материалом. Следует отметить, что объем данной работы не позволяет привести все беседы по всем темам алгебры. Автор ограничился лишь малой частью наиболее ярких и доступных из них. Необходимо также отметить, что исторический материал вводится автором не только на уроках алгебры, но и математического анализа (вводится история развития таких понятий, как предел, производная, интеграл), и геометрии (рассматриваются не только исторические моменты геометрии Евклида, но и не Евклидовых геометрий) Краткий обзор исторического развития алгебры Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами. Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Немало свойств, правил действий над величинами, алгебраических приемов знали ученые Древней Греции. Однако они выражали их в геометрической форме. Следы геометрической алгебры встречаются поныне в терминах «квадрат» числа, «куб» числа и т.д. процесс освобождения алгебры от геометрической формы и создание буквенной символики начался еще в Древней Греции (Диофант) и был продолжен в Индии ив средние века в Европе. Однако, лишь после того как Виет ввел буквенное обозначение не только для неизвестных, но и для известных величин, после появление трудов Декарта, Ньютона и других ученых этот длительный исторический процесс был в основном завершен. Введение в алгебру операций над буквенными символами ознаменовало начало переменных величин. Рассмотрение переменных величин, связей между ними и введение декартовых координат привели к понятию функций. Понятие переменной величины и функции возникли в XVII в. не случайно, а под влиянием запросов естествознания, требовавшего изучения явлений, связанных с движением. Примерно до середины XIX в. на развитие алгебры влияла в основном проблема решения уравнений. Под влиянием исследований молодого французского математика Э.Галуа (1811-1832) в дальнейшем развитии особенно в XXв., алгебра все больше определялась как наука об общих алгебраических операциях (действиях). Значение современной алгебры выходит далеко за пределы учения об уравнениях. Алгебра широко применяется в любом разделе математики, в естествознании и технике. Она продолжает бурно развиваться и в настоящее время. Алгебраические сведения в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого «Арифметика» Магницкого, изданная в 1703 г., наряду с подробным и систематическим изучением арифметики содержала также сведения из алгебры. По книге Магницкого русский читатель впервые знакомился с действиями над многочленами, с правилами решения уравнений первой и второй степени. Хотя в целом Магницкий не употреблял еще алгебраической символики, он все же был знаком с нововведением Виета, следуя которому обозначал неизвестные величины прописными гласными, а известные согласными буквами. Подобно английскому математику Т.Гарриоту он еще писал вв, ввв… вместо в , в , … В левом нижнем углу заглавного листа «Арифметики» Магницкого изображена доска со следующей записью: 2R + 1 3R ? 2 6g + 3R ? 4R ? 2 6g ? 1R ? 2 Это не что иное, как умножение «столбиком» двух многочленов. Буквой R (начальная в латинском слове Radix – корень) обозначено неизвестное (наш X), буквой g – неизвестное в квадрате. Черточка с точками ? служила знаком вычитания. Задание ученикам: Переписать запись Магницкого современными символами и проверить умножение. Неравенства В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующим образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал, однако, общеупотребляемым лишь в XVIII в. после того как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи. Знаки неравенства (>,<) появились впервые в 1631 г. но понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности. В развитии математической мысли без сравнения величин, без понятия «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения. Приближенные вычисления также связаны с понятием неравенства. Некоторые неравенства древности. В V книге начал Евклида доказывается: « если а – наибольшее число в пропорции а = с в d где а, в, с, d – положительные числа, то существует неравенство а + d > в + с Докажите!» 2) В основном труде Паппа Александрийского, названном «Математическое собрание» и написанном в III в., доказывается: «Если а > с в d , то аd > вс ( а > 0, в > 0, с > 0, d > 0 ) Докажите!» Символы ? и ? были введены в 1734 г. французским математиком Пьером Буге. Еще более 2000 лет назад было известно следующее неравенство: а * в ? а + в , где а, в ? 0. Словами оно выражается так: среднее геометрическое двух неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел. Задание ученикам: доказать неравенство. Как составлял и решал Диофант Квадратные уравнения При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру одна из его задач. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96». Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. таким образом , одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + x, другое же меньше, т.е. 10 – x. Разность между ними 2x. Отсюда уравнение (10 + x) * (10 – x) = 96 , или же 100 – x = 96 x - 4 = 0 отсюда x = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение x = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала тока положительные числа. Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения. О теореме Виета Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом : «Если В + D, умноженное на А минус А , равно АD, то А равно В и равно D». Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означала у него неизвестное ( наше x ), гласные же В, D – коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: Если имеет место (а + в) x – x = ав, т.е. x - (а +в)x + ав = 0 то x = а , x = в Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В XVII – XVIII вв. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж и др. В современной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет следующий вид а x + в у = с а x + в у = с Решение этой системы выражается формулами с в - с в , а с - а с а в - а в а в - а в Нижние индексы при буквах впервые употребил в 1675 г. немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц, что в большей мере способствовало созданию теории определителей. Благодаря методу координат, созданному в XVII в. Ферма и Декартом, стало возможным геометрическое решение уравнений системы. Так называемый графический метод решения состоит в построении абсциссы x и ординаты у точки пересечения двух соответствующих прямых (рис.)