Пояснительная записка Основная функция элективных курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике – формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как универсальном языке науки; развитие творческих способностей у школьников, осознанных мотивов учения, подготовка к продолжению образования и сознательному выбору профессии. Решение геометрических задач вызывает трудности у многих учащихся. Это объясняется, прежде всего, тем, что редко какая либо задача по геометрии может быть решена с использованием определённой теоремы или формулы. Большинство задач требует применения разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений, справедливых лишь при определенном расположении фигуры, применения различных формул. Приобрести навык в решении задач можно, лишь решив достаточно большое их количество, ознакомившись с различными методами, приёмами и подходами. В программе для общеобразовательных школ по геометрии не выделяется достаточно времени на обобщение и систематизацию знаний по отдельным темам курса. Искусство же решать задачи основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов. Курс направлен на профильную подготовку по математике. Он расширяет и углубляет базовые знания учащихся, является предметно ориентированным. Также данный курс содержит большое количество задач из КИМ Государственной итоговой аттестации по геометрии на тему «Четырехугольники». Для решения задач выбран алгебраический метод их решения, так как большинство задач из КИМ Государственной итоговой аттестации решаются данным методом. Элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию знаний и умений по математике, даст возможность учащимся проанализировать свои способности к проектной деятельности. Цели курса: Обобщить и систематизировать знания учащихся по планиметрии, расширить представление о подходах к решению задач по геометрии, подготовиться к Государственной итоговой аттестации. Задачи курса: * Развитие общеучебных умений учащихся, логического мышления, алгоритмической культуры, математического мышления и интуиции, повышение их уровня обученности. * Развитие творческих способностей школьников, подготовка их к продолжению образования и к сознательному выбору профессии. * Воспитание ответственности, самостоятельности, настойчивости, критичного отношения к себе, культуры умственного труда. * Формирование качеств мышления, необходимых для продуктивной жизни в обществе. * Воспитание навыков общения со сверстниками, работы в команде, осознания своего вклада в общий проект. Требования к знаниям и умениям учащихся После изучения данного элективного курса учащиеся должны: • правильно анализировать условие задачи; • выполнять грамотный чертеж к задаче; • выбирать наиболее рациональный метод решения; • в сложных задачах использовать вспомогательные задачи (задачи - спутники); • логически обосновывать собственное мнение; • использовать символический язык для записи решений геометрических задач; • следить за мыслью собеседника; корректно вести дискуссию. Для наиболее успешного усвоения материала были использованы различные формы занятий: интерактивно-лекционные с использованием презентации Microsoft Power Point (5 ч), групповые (3 ч), индивидуальные (2 ч), практические (10 ч). Подробное планирование курса представлено в таблице. Оценка знаний и умений производится посредствам письменной самостоятельной работы в начале и в конце элективного курса. По результатам работы ставится отметка. Оценка проекта производится в зачетной форме. Критерии оценивания работы Работа оценивается отметкой «5», если: * работа выполнена полностью; * в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; * в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала). Отметка «4» ставится в следующих случаях: * работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки); * допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки). Отметка «3» ставится, если: * допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме. Отметка «2» ставится, если: * допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере. Тематическое планирование курса № Тема Кол-во часов Форма занятия 1 Входная работа 1 Индивидуальная самостоятельная работа 2 Вводное занятие по теме: «Четырехугольник» 1 Интерактивная лекция с использованием презентации Power Point 3 Защита докладов 1 Коллективная работа 4 Решение задач алгебраическим методом по теме: «Четырехугольник» 1 Практикум по решению задач 5 Параллелограмм 1 Интерактивная лекция с использованием презентации Power Point 2 Практикум по решению задач алгебраическим методом 6 Ромб, квадрат, прямоугольник 1 Интерактивная лекция с использованием презентации Power Point 3 Практикум по решению задач алгебраическим методом 7 Трапеция 1 Интерактивная лекция с использованием презентации Power Point 2 Практикум по решению задач алгебраическим методом 8 Площади четырехугольников 1 Интерактивная лекция с использованием презентации Power Point 2 Практикум по решению задач алгебраическим методом 9 Разработка проекта «Четырехугольник и его жители» 1 Коллективная работа 10 Защита проекта 1 Коллективная работа 11 Итоговая работа 1 Индивидуальная самостоятельная работа Итого: 20 Занятие 4. Решение задач алгебраическим методом по теме «Четырехугольник» Цель занятия: научить учащихся применять свойства четырехугольника. Закрепить полученные знания посредством решения задач. Ход занятия: 1. Организационный момент Сообщить тему занятия, сформулировать цели. 2. Решение задач. Задача 1. Доказать, что в выпуклом четырехугольнике угол между биссектрисами двух прилежащих углов равен полусумме двух других углов. Решение. Пусть биссектрисы углов A и В, прилежащих к стороне AB, пересекаются в точке N (рис.32). Поскольку в четырехугольнике ABCD: A+B+C=360, то в ANB: . Задача 2. Могут ли длины сторон четырехугольника относиться как 5:7:11:25? Решение. Пусть m коэффициент пропорциональности сторон четырехугольника. Тогда, четырехугольника с данным отношением сторон не существует, так как при любой единице измерения m получаем, что сумма трех его сторон 5m+7m+11m,меньше четвертой стороны 25m. Поэтому рассматриваемая ломаная линия не может быть замкнутой. Задача 3. В выпуклом четырёхугольнике ABKC? сторона AB? равна ,? диагональ BC? равна 1,? а углы ABC,? BKA? и BKC? равны 120?,? 30? и 60?? соответственно. Найдите сторону BK (рис.33).? Решение. Пусть M —? точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABKC.? Обозначим BAK = ?.? Тогда KMC = AMB = 60? ? ?, BCK = 180? ? KMC ? MKC = 90? + ?. Применяя теорему синусов к треугольникам ABK? и BCK,? получим: ==2??3, ==2??3, откуда находим tg ? = ?? .? Значит, cos ? = ?? ?. Следовательно, BK = ?? , cos ? = ?? Задача 4. В четырёхугольнике ABCD? углы A? и C? равны 90?.? Докажите, что периметр вписанного в ABCD? четырёхугольника не меньше, чем 2AC.? Решение. Пусть вершины K,? N,? M? и L? четырёхугольника KNLM? лежат на сторонах соответственно AB,? BC,? CD? и AD? четырёхугольника ABCD,? а точки P,? E? и Q —? середины отрезков KL,? LN? и MN? соответственно. Тогда AP? и QC —? медианы прямоугольных треугольников AKL? и CMN,? проведённые из вершин прямых углов, а PE? и QE —? средние линии треугольников KLN? и MLN.? Значит, AP = ??LK, PE = ??KN, EQ = ?? ML, QC = ?? MN, поэтому LK + KN + ML + MN = 2AP + 2PE + 2QE + 2CQ = 2(AP + PE + EQ + QC) ? 2AC.? Что и требовалось доказать. Задача 5. Точка O? лежит на диагонали AC? выпуклого четырёхугольника ABCD.? Известно, что OC = OD? и что точка O? одинаково удалена от прямых DA,? AB? и BC.? Найдите углы четырёхугольника, если AOB = 110?? и COD = 90?. Решение. Обозначим BAC = DAC = ?,? ABO = CBO = ?.? Поскольку BOC = 70? —? внешний угол треугольника ABO,? то ? + ? = 70?.? Пусть OE? и OF —? перпендикуляры, опущенные из точки O? на прямые AD? и BC? соответственно. Тогда точка E? лежит на отрезке AD? (основание высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла), а точка F —? на отрезке BC? (проекция основания биссектрисы BO? треугольника ABC? на его сторону BC).? Поскольку точка O? равноудалена от прямых DA,? AB? и BC,? то OF = OE.? Поэтому прямоугольные треугольники OFC? и OED? равны по гипотенузе и катету. Тогда ADO = BCO,? а так как ADO = 90? ? OAD = 90? ? ?,? BCO = 90? ? COF = 90? ? (70? ? BOF) =? =20? + BOF = 20? + (110? ? (90? ? ?)) =40? + ?,? то из уравнения 90? ? ? = 40? + ?? находим, что ? = 25?.? Тогда: BAD = 2? = 50?, ABC = 2? = 2(70? ? ?) = 90?, ?ADC = ADO +ODC = (90? ? ?) + 45? = 65? + 45? = 110?,? BCD = 360? ? (50? + 90? + 110?) = 110?.? 4. Подведение итогов урока. Занятие 5. «Параллелограмм» Цель занятия: систематизировать теоретические знания по теме «Параллелограмм» (слайд 1). Оборудование: компьютер, презентация в программе Microsoft Power Point (приложение 3). Ход занятия: 1. Организационный момент Сообщить тему занятия, сформулировать цели (слайд 2). 2. Повторение свойств и признаков параллелограмма (слайд 3-8). 3. Решение кроссворда (рис. 34). 1.Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны (параллелограмм). 2.Единица измерения угла (градус). 3.Отрезок, соединяющий две несмежные вершины (диагональ). 4.Луч, делящий угол пополам (биссектриса). 5.Множество точек прямой, заключенных между двумя точками (отрезок). 6.Фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки (угол). 7.Сколько сантиметров в метре (сто)? 8.(горизонталь) Отрезок, перпендикулярный к стороне (высота). 8.(вертикаль) Точка из которой исходят стороны многоугольника (вершина). 9. «+», - это … (знак). 10.Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол (катеты). 11.Отрезок исходящий из вершины треугольника к середине противоположной стороны (медианы). 4. Задачи на готовых чертежах. 1. Задача 1 (рис. 35). 4. Задача 4 (рис. 38). 2. Задача 2 (рис. 36). 5. Задача 5 (рис. 39). 3. Задача 3 (рис. 37). 6. Задача 6 (рис. 40). 5. Подведение итогов занятия.