Научно-исследовательская работа по теме "Теоремы Чевы и Менелая"

Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики. И уже в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Постепенно развиваясь, она обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направление их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому, нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков её предмет, содержание и методы.

Актуальность

В школьном курсе геометрии рассматриваются важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но невозможно включить все известные утверждения и соотношения, которые накопило человечество за многие годы, в школьный учебник геометрии.

В действительности многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не входят в основной курс геометрии. Многие из них сейчас выглядят малоинтересными, несовершенными и встречаются сейчас только в энциклопедиях. Однако некоторые из них продолжают жить, и по сей день. Одни из них теоремы Менелая и Чевы. Эти теоремы просты, интересны и находят применение при решении как простых, так и весьма сложных задач. Несмотря на это теоремы Менелая и Чевы не изучаются в школе на уроках геометрии и встречаются только в школьном учебнике геометрии под редакцией Атанасяна Л.С. в приложении. Доказательства, предложенные автором сложны. Задачи, помещённые в учебнике на применение обратной теоремы Менелая трудны, а задачи на применение прямой теоремы вовсе не рассматриваются.

По данному вопросу были рассмотрены следующие литературные источники: Прасолов В. В. «Задачи по планиметрии»; Сканави М. И. «Сборник задач по математике для поступающих во Втузы»; . С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. «Новые встречи с геометрией»; статьи физико – математического журнала «Квант» и др.

Теоремы Чевы и Менелая можно назвать «двойственными» они, похоже, формулируются и доказываются. В своей работе я предлагаю доказательства теоремы Менелая (прямая и обратная), используя подобия треугольников, а теорему Чевы доказываю с помощью теоремы Менелая.

Однако при решении целого класса задач эти теоремы позволяют легко и изящно получить решение, в то время когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям.

Цели исследования:

1. Изучить состояние проблемы в научной литературе и школьной программе.

2. Выявить теоретические положения для доказательства теорем и научно обосновать способы доказательства теоремы Чевы и Менелая.

3. Проанализировать теоремы и их применение при решении задач

4. Проверить эффективность и целесообразность применения теорем при решении задач.

5. Создать буклет, как методическое пособие по данной теме.

Научная новизна исследования состоит в том, что в нем проблема доказательства теоремы Чевы и Менелая решается разными способами.

Теорема Чевы и Менелая позволили нам обнаружить глубоко скрытое общее содержание в таких важнейших теоремах элементарной геометрии, как теорема о трех высотах, медианах и биссектрисах треугольника.

Замечательным свойством теорем является то, что они могут служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольника в 9 классе. В частности, с их помощью легко доказываются следующие утверждения:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

3. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке

И многие другие известные соотношения.

Доказательства двух первых утверждений приводятся в работе.

Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Чевы и Менелая даёт дополнительные возможности при изучении геометрии, помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий.

Данная работа содержит геометрический материал достаточный для того, чтобы использовать его на эликтивных курсах и как дополнительный материал для учащихся интересующихся математикой. Данную работу можно продолжить, изучив применение этих теорем в пространстве.