Методическая разработка по теме: "Применение аналитической геометрии к решению стереометрических задач".
ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И УГЛОВ
Рассмотрим несколько геометрических задач, для решения которых необходимо вычислить те или иные расстояния или углы в пространстве (эти задачи предлагались на вступительных экзаменах в вузы). Задачи такого типа удобно решать с помощью скалярного произведения векторов. Основной метод решения заключается в том, что в пространстве выбирается подходящий базис и составляется таблица умножения – таблица скалярных произведений векторов этого базиса. Имея такую таблицу и зная разложения векторов в выбранном базисе, вычислить длины этих векторов и углы между ними уже легко. Мы начнем с простой задачи, где этот метод напрашивается сам собой, а затем перейдем к более сложным задачам, продемонстрировав на них все основные случаи.
Задача 1.В треугольной пирамиде ABCDвсе ребра имеют одинаковую длину. Точка M– середина ребра AD, точка О – центр треугольника ABC, точка N– середина ребра ABи точка K– середина ребра CD. Найдите угол между прямыми MOи KN.
Решение.
Примем длину ребра тетраэдра за единицу и выберем в качестве базиса векторы , , . Составим таблицу умножения для этого базиса (табл. 1). Разложим векторы и по векторам , и :
Таблица1
1
1
1
.
Угол φ между прямыми MOи KNвычисляется по формуле
.
Найдем , и , пользуясь таблицей 1:
;
=
Отсюда cosφ= , φ= .
Однако условие задачи не всегда позволяет выбрать базис с полностью определенной таблицей умножения. В этом случае нужно попытаться составить уравнение относительно недостающего элемента.
Задача 2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, точки и являются центрами оснований и соответственно. Длина ортогональной проекции отрезка на прямую равна 5а/6. Определите высоту призмы.
Решение.
Выберем в качестве базиса векторы , , (рис. 1). Пусть . Таблица 2 – это таблица умножения для базиса ( , , ).
Таблица 2
0
0
0
0
Ортогональная проекция отрезка на прямую равна длине этого отрезка, умноженной на косинус угла φ между прямыми и . Чтобы вычислить и , разложим векторы и в базисе ( , ):
.
Используя таблицу 2, находим:
,
Поскольку мы получаем уравнение
.
Отсюда .
Можно выделить четыре основных типа задач на вычисление расстояний и углов.
1. Расстояние от точки до прямой.
Дано:точка ; прямая lс направляющим вектором , точка А, принадлежащая прямой l; .
Найти:расстояние от очки Mдо прямой l.
(Векторы и в условии задачи даны в том смысле, что известны их разложения в некотором базисе с заданной таблицей умножения.)
Приведем схему решения этой задачи.
Пусть N– ортогональная проекция точки Mна прямую l(рис. 2). Тогда Неизвестный коэффициент х находится из условия перпендикулярности векторов и : Искомое расстояние .
Задача 3. В правильной треугольной пирамиде SABC(S– вершина, SA= 4) точка Dлежит на ребре SC, а расстояние от точки Aдо прямой BDравно 2. Найдите объем пирамиды.
Решение. Выберем базис из векторов , , .
Составим таблицу умножения для этого базиса, обозначив через φ плоский угол при вершине пирамиды (табл. 3). По условию расстояние от точки А до прямой BDравно 2. Вычислив это расстояние с помощью таблицы 3, мы получим уравнение, позволяющее найти .
Таблица 3
16
16
4
16
16
4
4
4
1
Пусть N– проекция точки Aна прямую BD(рис. 3). Тогда Так как векторы и перпендикулярны, получаем ( Используя таблицу 3, после упрощений находим:
(1)
Вычислим теперь длину вектора :
.
Так как
(2)
Из равенств (1) и (2) получаем /9. Поэтому = 55/64.
Найдем теперь длину отрезка - высоту пирамиды. Так как O– центр треугольника ABC,
откуда
Чтобы найти площадь основания пирамиды, вычислим :
Теперь искомый объем
2. Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Дано: плоскость α с базисом ( ), точка А, принадлежащая плоскости α, точка M, не лежащая в плоскости α, .
Найти:расстояние от точки до плоскости α и угол между прямой и плоскостью α.
Схема решения этой задачи такова.
Пусть N - ортогональная проекция точки Mна плоскость α (рис. 4). Тогда Неизвестные коэффициенты x, yнаходятся из условия перпендикулярности вектора векторам и :
Зная xи y, находим расстояние от точки Mдо плоскости α, равное
Если то угол между прямой AMи плоскостью α равен углу между векторами и , а если , то прямая AMперпендикулярна плоскости α.
Задача 4. В основании прямой призмы лежит ромб ABCDс острым углом А = . Все ребра призмы имеют длину а. Точка К является ортогональной проекцией точки на плоскость , а точка L– ортогональной проекцией точки К на плоскость Найдите объем пирамиды DCLK.
Решение.Примем за основание пирамиды DCLKтреугольник CDL, лежащий в плоскости . Тогда отрезок KL– высота пирамиды (рис. 5). Следовательно,
где M– ортогональная проекция точки Lна прямую DC.
Таблица 4
0
0
0
0
Выберем в качестве базиса векторы , , и заполним таблицу 4 – таблицу умножения для этого базиса.
Далее,
Так как вектор перпендикулярен векторам и , получаем систему
Заменив вектор его разложением в базисе ( , ) и воспользовавшись таблицей 4, придем после упрощений к системе уравнений 2x+ y= 1, 3x+ 4y= 1, откуда x= 3/5, y= -1/5.
Следовательно, .
Аналогично
Так как и то откуда , и 5t+ 1 = 0, откуда t= -1/5. Следовательно,
Теперь можно найти высоту пирамиды :
Осталось найти :
Так как то , откуда , .
Таким образом,
3. Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми.
Дано: прямая с направляющим вектором , точка , принадлежащая прямой ; прямая с направляющим вектором , точка , принадлежащая прямой ;
Найти:расстояние и угол между прямыми l и l.
Задачи этого типа решаются по следующей схеме.
Косинус угла между прямыми и находятся по формуле
Чтобы определить расстояние между прямыми и , т.е. длину их общего перпендикуляра ( , , рисунок 6), представим вектор в виде Неизвестные коэффициенты x, yнаходятся из условий перпендикулярности вектора векторам и :
Искомое расстояние – длина вектора , т.е.
Задача 5. Основанием пирамиды SABC является треугольник ABC, длина стороны которого равна 4 Боковое ребро SCперпендикулярно к плоскости основания и имеет длину 2. Найдите величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку Sи середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра AB.
Таблица 5
32
16
0
16
32
0
0
0
4
Решение. Пусть Mи N– середины ребер и (рис. 7). Выберем в качестве базиса векторы , Таблица умножения для этого базиса – это таблица 5. Найдем угол φ между прямыми SMиCN:
;
Вычислим , , :
= 12, = , = .
Следовательно, , φ = .
Вычислим теперь расстояние между прямыми SMи CN, т.е. длину их общего перпендикуляра PQ(P SM, Q CN):
Из условия перпендикулярности вектора векторам и получаем систему уравнений
3x + 3y = -1, x+ 2y= 0,
откуда x= -2/3, y = 1/3.
Следовательно,
4. Угол между плоскостями.
Угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярными им прямыми. Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис.8). Через какую-нибудь точку, не лежащую на прямой с, проведем прямые aи b, перпендикулярные плоскостям α и β соответственно. Тогда плоскость, проходящая через прямые aи b, пересекает плоскости α и β по прямым и , перпендикулярным прямой с (см. рис. 8). Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми и , который, в свою очередь, равен углу между прямыми aи b(так как прямые a, b, , лежат в одной плоскости и a , b ).
Таким образом, задача нахождения угла между плоскостями сводится к вычислению угла между прямыми.
Задача 6.В основании треугольной пирамиды SABCлежит правильный треугольник ABCсо стороной 1, ребро SAпирамиды перпендикулярно плоскости основания, SA= . Плоскость α параллельна прямым SBи AC, плоскость β параллельна прямым SCи AB. Определите величину угла между плоскостями α и β.
Таблица 6
3
0
0
0
1
0
1
Решение.Выберем в качестве базиса векторы , , . Таблица 6 – это таблица умножения для векторов этого базиса. Если и - ненулевые векторы, перпендикулярные плоскостям α и β соответственно , а φ – угол между этими плоскостями, то
В качестве вектора можно взять любой ненулевой вектор, удовлетворяющим условиям
Запишем вектор в виде Так как , , мы получаем систему уравнений
С помощью таблицы 6 приводим эту систему к виду
6x– 2y– z= 0, y+ 2z= 0.
Число уравнений в этой системе меньше числа неизвестных. Это объясняется тем, что вектор условием α не определен однозначно. Решение такой системы сводится к выражению двух неизвестных через третье. Выразим xи yчерез z: y= -2z, x= -1/2z.
Положив теперь, например, z= -2, найдем xи y: x= 1, y=4. Вектор - один из ненулевых векторов, перпендикулярных плоскости α.
Аналогично будем искать ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости β: , ;
так что
, .
Можно взять u= -2. Тогда v= 4, t=1, так что (Выражение для вектор можно было получить из выражения для вектора , заметив, что условие, задающее плоскость β, получается из условия, задающего плоскость α, перестановкой точек Bи C.)
Теперь вычисляем :
.
Таким образом, .
Упражнения
1. В параллелограмме ABCDточка K– середина стороны BC, а точка M– середина стороны AD. Найдите AD, если AK= 6, AM= 3, = .
Ответ:4
2. В правильном тетраэдре ABCDотрезок MNсоединяет середину ребра ACс центром грани BDC, а точка E– середина ребра AB. Найдите угол между прямыми MNи DE.
Ответ: .
3. В основании треугольной призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, длины катетов ABи ACкоторого равны α. Боковые ребра , , образуют с плоскостью основания углы в , а диагональ боковой грани перпендикулярна ребру AC. Найдите объем призмы, если длина диагонали равна .
Ответ: .
4. В правильной треугольной призме длина стороны основания равна а, длина бокового ребра равна а/2. Точка Dявляется ортогональной проекцией середины ребра на плоскость , а точка E– ортогональной проекцией точки Dна плоскость . Найдите объем пирамиды
Ответ: .
5. Сторона основания ABCDправильной пирамиды SABCDимеет длину a, боковое ребро – длину 2а. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали BDоснования и боковом ребре SC, параллельные плоскости SAD.
a) Один из этих отрезков проведен через точку Mдиагонали BDтакую, что DM: DB= 1 : 3. Найдите его длину.
б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.
Ответ: а) , б) .
МЕТОД КООРДИНАТ.
Задача 1.В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник АВС с катетами СА=4, СВ=3. Вершина пирамиды Sпроектируется в точку С, причем SC=1. На ребрах пирамиды взяты точки М – на СА, N– на СВ, Р – на SA, причем MC= 1, NC= NB, SP= PA. Найти величину угла, образуемого плоскостью сечения пирамиды, проходящей через точки M, N, P, с плоскостью основания.
Решение.
z
S
P
C N B y
M
A
x
Взаимно перпендикулярные ребра пирамиды CS, СА и СВ позволяют связать с ними прямоугольную систему отсчета, поместив начало в вершине С. Тогда плоскость сечения проходит через три точки, координаты которых нам известны, а именно М(1, 0, 0), N(0, , 0), P(2, 0, ).
Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, будем искать в виде
. Это так называемое «уравнение плоскости в отрезках». Числа а, bи с - это координаты точек пересечения плоскости с соответствующими осями координат, точнее говоря, координаты этих точек имеют вид (а, 0, 0), (0,b, 0), и (0, 0, с).
Подставляя в это уравнение последовательно координаты точек М, N, P, получим три уравнения для определения чисел а, bи с :
Отсюда находим а=1, b= и с= , т.е. секущая плоскость имеет уравнение или .
Известно далее, что коэффициенты (3, 2, -6), стоящие при x, y, zв уравнении плоскости, можно рассматривать как координаты вектора , перпендикулярного этой плоскости. Аналогично, координаты вектора , перпендикулярного плоскости основания пирамиды, равны (0, 0, 1). Поэтому, используя формулу для выражения косинуса угла между векторами через их скалярное произведение и длины, можно вычислить этот угол, который как раз и равен углу между рассматриваемыми плоскостями. Имеем: , т.е. .
Задача 2.Через три точки O, E, F, лежащие на поверхности куба ( - боковые ребра), проведена плоскость сечения. Найти величину угла, образуемого его плоскостью с плоскостью основания куба, если известно, что О – центр грани куба, Е и Fпринадлежат ребрам и ВС, соответственно, причем и .
Решение.
z
B1 C1
E
A1 D1
O
B F C y
A D
x
Приняв за начало координат вершину В куба, направим ее оси x, y, zсоответственно по векторам . Тогда точки Е, О и F, через которые проводится сечение, имеют координаты, , .
Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, будем искать в виде
.
Числа а, bи с - это координаты точек пересечения плоскости с соответствующими осями координат, точнее говоря, координаты этих точек имеют вид (а, 0, 0), (0,b, 0), и (0, 0, с).
Подставляя в это уравнение последовательно координаты точек Е, О, F, получим три уравнения для определения чисел а, bи с :
Отсюда находим а=, b= и с= . После этого уравнение плоскости можно записать следующим образом: .
Известно далее, что коэффициенты (9, 4, -5), стоящие при x, y, zв уравнении плоскости, можно рассматривать как координаты вектора , перпендикулярного этой плоскости. Аналогично, координаты вектора , перпендикулярного плоскости основания куба, равны (0, 0, 1). Поэтому, используя формулу для выражения косинуса угла между векторами через их скалярное произведение и длины, можно вычислить этот угол, который как раз и равен углу между рассматриваемыми плоскостями. Имеем: , т.е. .
Задача 3. Доказать, что расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле: .
Решение.
A z
B
y
x
Проведем , где . Координаты точки В обозначим через .Векторы и коллинеарны, поэтому угол между ними равен или . Пользуясь скалярным произведением, получим: . Но , тогда ,
отсюда . В последнем равенстве перейдем к координатам: . Раскроем скобки в числителе и заменим выражение числом , так как . Получим: .
Задача 4. Длина ребра куба равна 1. На ребре KLвзята точка А так, что длина отрезка КА равна . На ребре ММ1 взята точка В так, что длина отрезка М1В равна . Через центр куба О и точки А и В проведена плоскость . Точка Р – проекция вершины К1 на плоскость . Найти длину отрезка АР.
Решение.
z
L1 M1
K1 N1
B
L M
A y
К N
x
Треугольник АК1Р – прямоугольный, так как по условию. Поэтому .
Найдем координаты точек А, В, О, К1:
; ;
Из находим . Длину отрезка К1Р найдем, как расстояние от точки К1 до плоскости , воспользовавшись формулой , где ( ) – координаты точки К1, а числа a, b, c, d - координаты уравнения , определяющего плоскость .
Чтобы найти значения a, b, c, d , подставим в уравнение плоскости координаты точек А, В, и О. Получим систему:
. Решая эту систему, находим: и . Подставив найденные значения a, b и c, получаем уравнение плоскости : .
Теперь определим К1Р= . И, наконец, находим АР: .
Задача 5. Дан куб с ребром 1. Найти радиус сферы, проходящей через вершину А, середины ребер DCи ВВ1 и центр грани .
Решение.
Введем систему координат с началом в вершине А, выбрав оси так, чтобы вершины В, Dи А1 имели координаты В(1, 0, 0), D(0, 1, 0), А1(0, 0, 1), координаты середин ребер DCи ВВ1 соответственно , , центра грани А1В1С1D1- .
z
A1 D1
B1 C1
А D
y
В С
x
Напомним, что уравнение сферы с центром и радиусом rимеет вид . Последнее уравнение можно преобразовать к виду . Поскольку сфера содержит начало координат, то d= 0. Для а, в, и с легко получить систему уравнений:
Решив эту систему, найдем . Таким образом, уравнение сферы примет вид: , или . Искомый радиус равен .
Задача 6. Дан куб с ребром 1.Две сферы одинакового радиуса касаются друг друга, причем центр первой сферы совпадает с вершиной D1, а центр второй расположен внутри куба, и она касается ребер трехгранного угла с вершиной А. Определить радиус сфер.
z
A1 B1
D1 C1
E
A
M B y
D
C
x
Решение.
Введем систему координат с началом в вершине А, выбрав оси так, чтобы вершины D, Bи А1 имели координаты D(1, 0, 0), B(0, 1, 0),
А1(0, 0, 1), тогда координаты центра первой сферы (точки D1) - (1, 0, 1). Пусть R– радиус сфер. Поскольку вторая сфера касается ребер трехгранного угла с вершиной А, то расстояние от ее центра (точки Е) до каждого из ребер этого угла также равно R. В силу симметрии точка Е лежит на диагонали АС1 куба и ее координаты равны между собой. Поэтому достаточно ограничиться поиском одной из координат точки Е. Пусть М – ортогональная проекция точки Е на ось Oy. Тогда длина АМ и есть ордината точки Е, ЕМ=R. Прямая СВ – проекция прямой С1В на плоскость АВС и . Значит, по теореме о трех перпендикулярах, С1В АВ. Но тогда треугольники АЕМ и АСВ подобны по двум углам. Поэтому или . Таким образом, ордината точки Е равна . Тогда координаты точки Е .
Сферы касаются друг друга, поэтому расстояние между их центрами равно 2R. Но . Следовательно, . Откуда (второй корень уравнения отрицателен).
Упражнения.
1. Дан куб с ребром 1. На ребре АА1 взята точка Е так, что длина отрезка АЕ равна . На ребре ВС взята точка Fтак, что длина BFравна . Через центр куба и точки Е и Fпроведена плоскость . Найдите расстояние от вершины В1 до плоскости .
Ответ: .
2. Основанием пирамиды SABCявляется равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, длина гипотенузы АВ которого . Боковое ребро пирамиды SCперпендикулярно плоскости основания и его длина равна 2. Найдите величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку Sи середину ребра АС, а другая проходит через точку С и середину ребра АВ.
Ответ:; .
3. Дан куб с ребром 1. На ребре АDкак на диаметре построена сфера. Вторая сфера, лежащая внутри куба, касается первой сферы и граней трехгранного угла с вершиной А1. Определить радиус второй сферы.
Ответ: .
4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна , а высота – 3. Вершина А куба находится в центре основания пирамиды, а вершина С1 – на высоте пирамиды, а ребро СDлежит в плоскости одной из боковых граней. Найти длину ребра куба.
Ответ: .
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
Автор: Неверовская Светлана Владимировна